Exercícios Resolvidos de Projeção e Reflexão

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Enunciado

Sejam R a reflexão do R 2   em relação ao eixo Y e S x , y = 2 x , y .   Defina a transformação T como sendo a aplicação de R seguida da aplicação de S . Os autovalores de T são:

(a) 1 e - 2

(b) 1 e 2

(c) 0 e - 2

(d) 1   e - 1

Passo 1

Bom, primeiro eu tenho uma reflexão no eixo Y , sabemos que os autovalores desse tipo de transformação são 1 e - 1 .

Isso porque se eu aplicar vetores pertencentes ao eixo Y , ou seja, aqueles cujas coordenadas são:

x , y = 0 , y = 0,1 y

A transformação vai me retornar eles mesmos   ( λ = 1 ) .

E se eu aplicar vetores perpendiculares ao eixo Y , ou seja, pertencentes ao eixo X , x , y = 1,0 x , a reflexão vai simplesmente mudar o sentido deles,   T x , y = ( - x , - y ) , λ = - 1 .

Passo 2

Agora vamos ver o que acontece com esses autovetores quando aplicamos a segunda transformação.

S x , y = 2 x , y

Vou aplicar a imagem vetor gerador do autoespaço associado ao autovalor 1, que vai ser ele mesmo:

S 0,1 = 0,1

Opa, o vetor continua igual, entao λ = 1 continua sendo autovalor! Agora vamos ver o outro autovalor   λ = - 1 :

S - 1,0 = - 2,0

O vetor foi multiplicado por 2, assim, o nosso novo autovalor vai ser λ = - 2 ao invés de λ = - 1 !

Resposta

(a)