Exercícios Resolvidos de Projeção e Reflexão

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Enunciado

Sejam A e B matrizes 2 × 2 . Considere as seguintes afirmativas:

  1. Se A não tem autovetores, então A B não tem autovetores.
  2. Mesmo que A tenha apenas uma direção de autovetores, A B pode ter duas direções distintas de autovetores.

a   Ambas são verdadeiras

b   I é falsa e I I é verdadeira

c   Ambas são falsas

d   I é verdadeira e I I é falsa.

Passo 1

Afirmativa I :

Vou te dar um exemplo pra provar que isso é falsa! Pega a matriz A sendo a rotação de 90 ° no sentido horário. Ela não tem autovetor nenhum concorda? Não preserva nenhuma direção! Agora pega B sendo a matriz rotação de 270 ° no sentido horário!

Fazendo A B nós estamos simplesmente rodando um vetor de 270 ° e depois rodando de mais 90 ° ! Logo, ele acaba rodando 360 ° , voltando nele mesmo. Então todo vetor do R 2 seria autovetor de A B . Essa é falsa.

Passo 2

Afirmativa I I :

Um exemplo de matriz 2 × 2 com apenas uma direção de autovetores é o cisalhamento lembra? Ele “tomba” o paralelogramo formado por um vetor, mantendo sua base e alturas inalteradas:

Nesse caso da imagem, a única direção que ele mantém inalterada é a dos vetores sobre o eixo x . Logo, ele tem apenas uma direção de autovetores. Se não conseguiu ver, pode calcular o autovetor da matriz dele:

1 1 0 1

Beleza, essa vai ser nossa matriz A . Se a gente definir B como sendo a projeção sobre o eixo x , temos que B vai jogar todos os vetores em x e A por sua vez não vai fazer coisa nenhuma porque ela não mexe em vetores no eixo x haha.

Logo, temos que nossa matriz A B vai fazer a mesma coisa que nossa matriz B , que sabemos que possui duas direções de autovetores. Então A B também terá duas direções de autovetores.

Essa é verdadeira.

Resposta

Letra b