Exercícios Resolvidos de Projeção e Reflexão

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Enunciado

Sejam P a projeção ortogonal no subespaço W e R a reflexão por W ⊥ :  

I - lim n → ∞ ⁡ R P n = lim n → ∞ ⁡ R 2 n + 1 P  

I I - lim n → ∞ ⁡ ( R P ) 2 n = lim n → ∞ ⁡ ( P R ) 2 n + 1

(a) Ambas são verdadeiras  

(b) I é falsa e I I é verdadeira

(c) Ambas são falsas

(d) I é verdadeira e I I é falsa

Passo 1

Vamos pensar em um exemplo pra ficar mais fácil de pensar, vamos supor que W é o eixo x e estamos no R 2 , fazendo o W ⊥ ser o eixo y .

Vamos ver a primeira afirmativa:

I - lim n → ∞ ⁡ R P n = lim n → ∞ ⁡ R 2 n + 1 P  

Vamos analisar o primeiro lado da igualdade: lim n → ∞ ⁡ R P n  

Aqui estamos pegando um vetor, o refletindo e depois o projetando infinitas vezes sobre o eixo x . Mas pensa aqui comigo, repetir infinitas vezes a projeção de um vetor num espaço, é o mesmo que fazer essa projeção apenas uma vez!

Isso acontece porque quando projetamos uma vez, o vetor passa a pertencer ao eixo x . Aí quando vamos projetar num espaço um vetor que pertence a ele, esse vetor permanence o mesmo!

Logo, lim n → ∞ ⁡ R P n = R P

Passo 2

Agora vamos ver a outra parte da igualdade:   lim n → ∞ ⁡ R 2 n + 1 P  

Aqui estamos pegando um vetor e o refletindo um número ímpar de vezes no eixo y para depois o projetar no eixo x . Acontece que refletir um número ímpar de vezes é igual a refletir apenas uma vez.

Isso acontece porque quando refletimos o vetor já refletido, ou seja, refletimos pela segunda vez, o vetor resultante é o inicial! Assim, quando fazemos a terceira reflexão, vai ser igual a primeira, e isso se repete por todos os numeros ímpares.

Logo, lim n → ∞ ⁡ R 2 n + 1 P = R P

Logo essa afirmativa é verdadeira!

Passo 3

Agora a afirmativa I I :

I I - lim n → ∞ ⁡ ( R P ) 2 n = lim n → ∞ ⁡ ( P R ) 2 n + 1

Agora, no primeiro lado da igualdade, estamos refletindo o vetor em y e o projetando em x um número par de vezes:

Peguei um vetor, refleti em y e projetei em x , agora vou fazer pela segunda vez:

Refleti em y e opa, ele já ta projetado em x , logo, continua o mesmo!! E só para entender o processo, vou fazer uma terceira vez:

Acho que deu pra entender a ideia da coisa. Quando fazemos o processo um número par de vezes, o resultado é igual àquele encontrado quando feito 2 vezes. Já quando fazemos o processo um número ímpar de vezes, o resultado é igual ao que encontramos fazendo 1 vez ou 3 vezes!

Assim, lim n → ∞ ⁡ ( R P ) 2 n ≠ lim n → ∞ ⁡ ( P R ) 2 n + 1

A afirmativa I I é negativa!

Resposta

d