Exercícios Resolvidos de Propriedades Mecânicas e o Diagrama Tensão-Deformação

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 72-3.21.

A figura apresenta o diagrama tensão-deformação para uma resina de poliéster. Se a viga for suportada por uma barra A B e um poste C D , ambos feitos desse material, e for submetida à carga P = 80   k N , determine o ângulo de inclinação da viga quando a carga for aplicada. O diâmetro da barra é 40   m m , e o diâmetro do poste é 80   m m .

Passo 1

O que está acontecendo?

A barra A B e o poste C D estão contribuindo para o equilíbrio da viga A C através de forças F A B e F C D :

Aplicando as condições de equilíbrio para essa viga, conseguimos encontrar as forças F A B e F C D em função da carga P = 80   k N .

Mas pelo princípio da ação e reação, se a barra e o poste fazem essas forças na viga, a viga var reagir com forças contrárias na barra e no poste:

A força F A B de tração na barra A B vai gerar nela uma força interna normal N A B = F A B , enquanto que a força F C D   de compressão no poste C D vai gerar nele uma força interna normal N C D = - F C D .

Pessoal, se lembrem que a normal é negativa quando há compressão e positiva quando há tração.

Como uma consequência desse carregamento, a barra e o poste vão sofrer, respectivamente, variações de comprimento δ A B e δ C D , que vão poder ser calculadas através da fórmula

δ = N L E A

Sendo que:

  • Os comprimentos dessas peças são L A B = 2   m , para a barra, e L C D = 0,5   m , para o poste;
  • As duas peças vão ter o mesmo módulo de elasticidade E , que pode ser encontrado a partir do Diagrama Tensão-Deformação fornecido;
  • E as áreas A das seções transversais dessas peças podem ser calculadas a partir de seus diâmetros, d A B = 40   m m e d C D = 80   m m , usando a fórmula A = π d 2 / 4 .

E o que é que o exercício quer?

Ele quer que a gente descubra qual vai ser o ângulo de inclinação que a viga A C vai ganhar por causa das deformações/variações de comprimento na barra e no poste.

Agora, para analisar esse ângulo, vamos ter que encontrar primeiro as variações de comprimento δ A B e δ C D .

Então vamos começar o exercício determinando os valores do módulo de elasticidade E e das forças normais N A B na barra e N C D no poste, para que depois a gente possa usar a fórmula δ = N L / E A .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para encontrar o módulo de elasticidade E do material, vamos recorrer a Lei de Hooke:

σ = E ε

Isolando E , temos que:

E = σ ε

Então para calcular E , precisamos de um par de valores para a tensão σ e a deformação ε que sigam a Lei de Hooke, o que é seguir a lei de Hooke? Isso significa que esses dois valores devem estar dentro na porção reta do diagrama (onde há deformação elástica).

Olhando para o Diagrama Tensão-Deformação do material, um par de valores desses já está marcado:

Usando esses valores, vamos ter que:

E = ( 32,2   M P a ) ( 0,01   m m / m m )

O que dá:

E = 3220   M P a

Ou, se preferirmos:

E = 3,22   G P a

Passo 3

Já para encontrar as forças internas normais N na barra e no poste, vamos primeiro fazer o diagrama de corpo livre da viga para encontrar as forças F A B e F C D em função da carga P :

Aqui, podemos aplicar duas condições de equilíbrio: o equilíbrio de momentos e o equilíbrio de forças na vertical.

Pessoal, as forças F A B e F C D podem ser achadas por simetria e cada uma tem módulo igual à metade da força P :

F A B = F C D = P 2

Por fim, como vimos no primeiro passo, temos que N A B = F A B e que N C D = - F C D .

Dessa forma, encontramos que:

N A B = P 2       &       N C D = - P 2

Passo 4

Agora que já encontramos o módulo de elasticidade E e as forças normais N , já temos todas as informações necessárias para calcular as variações de comprimento δ na barra e no poste. Visualizando esse efeito vamos ter:

Aplicando a fórmula δ = N L / E A para a barra A B e para o poste C D , temos:

δ A B = N A B L A B E A A B       &       δ C D = N C D L C D E A C D

Podemos definir as áreas A de seção transversal da barra e do poste a partir de seus diâmetros d A B e d C D usando a fórmula A = π d 2 / 4 .

Além disso, temos que N A B = P / 2 e N C D = - P / 2 .

Fazendo essas substituições, temos que:

δ A B = P 2 L A B E π d A B 2 4       &       δ C D = - P 2 L C D E π d C D 2 4

Arrumando essas equações, elas ficam assim:

δ A B = 2 P L A B E π d A B 2       &       δ C D = - 2 P L C D E π d C D 2

Agora só falta substituir os valores de P = 80   k N e E = 3,22   G P a , além dos comprimentos e diâmetros da barra e do poste.

Fazendo essas substituições, temos:

δ A B = 2 80   k N 2   m 3,22   G P a π 40   m m 2       &       δ C D = - 2 80   k N 0,5   m 3,22   G P a π 80   m m 2

Para as duas contas, temos que G P a = k N / m m 2 , de tal forma que as unidades “ k N ” e “ m m 2 ” vão se cortar e o resultado final vai sair em m .

Calculando tudo, encontramos:

δ A B = 0,0197708   m       &       δ C D = - 0,0012357   m

Reescrevendo esses resultados em m m , temos:

δ A B = 19,7708   m m       &       δ C D = - 1,2357   m m

Passo 5

Pronto, agora que já conhecemos as variação de comprimento na barra e no poste, só nos resta avaliar a nova inclinação da viga A C .

De um lado, temos que a barra vai se esticar 19,7708   m m , de tal forma que o ponto A da viga vai descer essa distância.

Do outro, temos que o poste vai se comprimir 1,2357   m m , fazendo o ponto C da viga descer essa distância.

Dessa forma, a disposição final A ' C ' da viga vai ficar assim:

A tangente do ângulo α de inclinação vai ser igual ao cateto oposto (igual à diferença entre 19,7708   m m e 1,2357   m m ) dividido pelo adjacente (igual ao comprimento de 1500   m m da viga):

t g   α = 19,7708   m m - 1,2357   m m 1500   m m

O que dá:

t g   α = 0,0123567

Por fim, usando a função t g - 1 ou a r c t g da nossa calculadora, encontramos nossa resposta:

α = 0,708 °

Resposta

α = 0,708 °

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