Exercícios Resolvidos de Propriedades Mecânicas e o Diagrama Tensão-Deformação

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 83-3.40.

Ao ser submetido a um ensaio de tração, um corpo de prova de liga de cobre com comprimento de referência de 50   m m sofre uma deformação de 0,40   m m / m m quando a tensão é de 490   M P a . Se σ e   =   315   M P a quando ε e =   0,0025   m m / m m , determine a distância entre os pontos de referência quando a carga é aliviada.

Passo 1

O que está acontecendo?

Inicialmente, a distância entre os pontos de referência do corpo de prova possuía um comprimento L = 50   m m .

Em seguida, o corpo foi carregado até atingir uma deformação ε = 0,40   m m / m m e uma tensão σ = 490   M P a .

Como essa tensão σ = 490   M P a atingida no corpo é maior que a resistência ao escoamento σ e = 315   M P a , podemos afirmar com certeza que o corpo escoou (entrou na região plástica).

Com isso, a deformação total ε = 0,40   m m / m m atingida pelo corpo é igual a soma de uma deformação elástica ε e com uma deformação plástica ε p :

ε = ε e + ε p

Agora, quando a carga é aliviada, a deformação elástica ε e (que é reversível) é recuperada, enquanto que a deformação plástica ε p (que é irreversível) é mantida.

Dessa forma, a deformação final no corpo vai ser igual à deformação plástica:

ε p = ε - ε e

Como a recuperação da deformação elástica segue a Lei de Hooke, vamos ter que ε e = σ / E , de tal forma que:

ε p = ε - σ E

Onde:

  • ε e σ são a deformação e a tensão atingidas no corpo;
  • E E é o módulo de elasticidade do material, que pode ser calculando dividindo a resistência ao escoamento σ e = 315   M P a pela deformação correspondente ε e = 0,0025   m m / m m .

E o que é que o exercício quer?

Ele quer saber a distância final entre os pontos de referência do corpo de prova.

Ou seja, ele quer saber o comprimento final L ' dessa distância, que vai ser igual ao comprimento inicial L mais uma variação de comprimento δ :

L ' = L + δ

Agora, como a deformação final no corpo vai ser ε p , vamos ter que δ = L ε p , de tal forma que:

L ' = L + L ε p

L ' = L ( 1 + ε p )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o módulo de elasticidade E do material!

Considerando que o material se comporta linear-elásticamente no ponto de escoamento e , o módulo de elasticidade E pode ser calculado a partir da Lei de Hooke nesse ponto:

σ e = E ε e

E = σ e ε e

Substituindo os valores de σ e e ε e fornecidos pelo enunciado, isso fica assim:

E = 315   M P a 0,0025   m m / m m

O que dá:

E = 126000   M P a

Passo 3

Com o módulo de elasticidade E calculado, agora podemos calcular a deformação final no corpo:

ε p = ε - σ E

Subsituindo os valores atingidos ε = 0,40   m m / m m e σ = 490   M P a e o módulo de elasticidade E = 126000   M P a , isso fica assim:

ε p = ( 0,40 ) - 490   M P a 126000   M P a

Calculando, isso dá:

ε p = 0,396 1 -   m m / m m

Passo 4

Finalmente, podemos calcular o comprimento final L ' entre os dois pontos de referência do corpo de prova:

L ' = L ( 1 + ε e )

Substituindo L = 50   m m e ε = 0,3961 1 -   m m / m m , temos:

L ' = 50   m m ( 1 + 0,396 1 - )

Calculando isso, encontramos nossa resposta:

Resposta

L = 69,806   m m

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