Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia de Funções Vetoriais

UFF, Cálculo IIB, Listas GMA - Lista 11, Questão 1

1. Considere as funções f : U     R 2 f U R 2 u , v u - v 2 , u + v 2 e g : V   R 2 g V R 2 x , y y + x 2 , y - x 2 onde U = u , v R 2 : u > v e V = x , y   R 2 : x > 0

a) Verifique que g   o   f u , v = u , v ,   u , v U R 2 e f   o   g x , y = x , y ;   x , y V R 2 . O que se pode concluir sobre f e g ?

b) Determine D f u , v e D g x , y .

c) Se x , y = f u , v e u , v = g x , y e I é a matriz identidade 2   x   2 , faça os produtos nos lados esquerdos das igualdades a seguir e verifique que:

D g f u , v x   D f u , v = I ,   u , v U R 2 e D f g x , y x D g x , y = I ,   x , y V R 2 .

Sem calcular esses produtos, já era esperado que essas igualdades se verificassem. Por que?

Passo 1

a) O problema quer que a gente verifique g   o   f u , v = u , v ,

Então bora lá... Reescrevendo de outra maneira:

g f u , v = u , v

De dentro pra fora temos:

f u , v = u - v 2 , u + v 2

Temos que mostrando então que:

g u - v 2 , u + v 2 = u , v

Lembrando que

g x , y = y + x 2 , y - x 2

Então:

g u - v 2 , u + v 2 = u + v 2 + u - v 2 , u + v 2 - u - v 2 = u , v

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Falta provar f   o   g x , y = x , y ;

Temos:

f g x , y = x , y

Substituindo:

f y + x 2 , y - x 2 = x , y

Lembrando que f u , v = u - v 2 , u + v 2 , temos:

f y + x 2 , y - x 2 = y + x 2 - y - x 2 2 , y + x 2 + y - x 2 2 = x 2 ,   y = x , y

O problema diz que x > 0 , então:

f   o   g x , y = x , y

Portanto f e g são funções inversas

Passo 3

b) Queremos a derivada de uma função vetorial:

f u , v = u - v 2 , u + v 2

f 1 = u - v 2 ; f 2 = u + v 2

A matriz Jacobiana fica:

D f u , v = f 1 u f 1 v f 2 u f 2 v = 1 4 u - v 2 - 1 2 - 1 4 u - v 2 - 1 2 1 2 1 2

Passo 4

Ainda falta   D g x , y . Lembrando que:

g x , y = y + x 2 , y - x 2

g 1 = y + x 2 ; g 2 = y - x 2

Temos:

D g x , y = g 1 x g 1 y g 2 x g 2 y = 2 x 1 - 2 x 1

Passo 5

Ele quer:

D g f u , v x   D f u , v

Porém

x , y = f u , v e u , v = g x , y

Então temos:

D g f u , v x   D f g x , y

Já vimos que g f u , v = u , v e f g x , y = x , y , vamos chamar:

w = x , y ; w 1 = x ; w 2 = y

H = u , v ; H 1 = u ; H 2 = v

Então:

D H u , v = H 1 u H 1 v H 2 u H 2 v = 1 0 0 1

Temos também:

D w x , y = w 1 x w 1 y w 2 x w 2 y = 1 0 0 1

D g f u , v x   D f g x , y = 1 0 0 1 x 1 0 0 1 = 1 0 0 1

Passo 6

Vamos calcular agora:

D f g x , y x D g x , y

x , y = f u , v e u , v = g x , y

D f g x , y x D g f u , v

Já vimos que g f u , v = u , v e f g x , y = x , y , vamos chamar:

w = x , y ; w 1 = x ; w 2 = y

H = u , v ; H 1 = u ; H 2 = v

Então:

D w x , y = w 1 x w 1 y w 2 x w 2 y = 1 0 0 1

Temos também:

D H u , v = H 1 u H 1 v H 2 u H 2 v = 1 0 0 1

D f g x , y x D g f u , v = 1 0 0 1 x 1 0 0 1 = 1 0 0 1

Resposta

  1. Funções inversas
  2. D f u , v = f 1 u f 1 v f 2 u f 2 v = 1 4 u - v 2 - 1 2 - 1 4 u - v 2 - 1 2 1 2 1 2

D g x , y = g 1 x g 1 y g 2 x g 2 y = 2 x 1 - 2 x 1

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas