Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia de Funções Vetoriais

Regra da cadeia

Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando. (aviso: resposta errada ou resposta certa sem justificativa receberá zero no respectivo item.)

Se f : R 2 → R é dada por f x , y = x 2 + y 2 e h r , θ = f r cos ⁡ θ , r sen ⁡ θ , então

∂ h ∂ r r , θ + ∂ h ∂ θ r , θ = 2 r

Passo 1

Vamos achar o jacobiano da função h e ver se suas derivadas vão ter essa propriedade

Repara que a função h na verdade é composta de duas funções, umas que é a função f e outra que da os valores das suas componentes, ou seja, uma função ϕ

ϕ r , θ = r cos ⁡ θ , r sen ⁡ θ

E a função h vai ser

h = f ∘ ϕ

Para fazer o jacobiano de h vamos ter que fazer o jacobiano de cada função.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar fazendo J ϕ , mas como é a função ϕ ? Ela vai ser

ϕ : R 2 → R 2

Certo? Temos 2 parâmetros sendo levados em 2 coordenadas.

Quais são as funções componentes?

ϕ 1 = r cos ⁡ θ

ϕ 2 = r sen ⁡ θ

J ϕ = ∂ ϕ 1 ∂ r ∂ ϕ 1 ∂ θ ∂ ϕ 2 ∂ r ∂ ϕ 2 ∂ θ

Passo 3

Vamos achar as derivadas

∂ ϕ 1 ∂ r = cos ⁡ θ

∂ ϕ 1 ∂ θ = - r sen ⁡ θ

∂ ϕ 2 ∂ r = sen ⁡ θ

∂ ϕ 2 ∂ θ = r cos ⁡ θ

A matriz jacobiana vai ficar

J ϕ = cos ⁡ θ - r sen ⁡ θ sen ⁡ θ r cos ⁡ θ

Passo 4

Vamos achar agora a matriz jacobiana de f

Ela vai ser

f : R 2 → R

Certo? Temos 2 parâmetros sendo levados em 1 coordenadas.

Quais são as funções componentes?

f 1 = x 2 + y 2

Como vai ficar o jacobiano?

J f = ∂ f 1 ∂ x ∂ f 1 ∂ y

Passo 5

Calculando as derivadas vamos ter

∂ f 1 ∂ x = 2 x

∂ f 1 ∂ y = 2 y

O jacobiano vai ficar

J f = 2 x 2 y

Precisamos achar esse jacobiano no ponto.

Mas quais os valores de x e y ? Temos que achar x e y em função de r e θ . Usando a função ϕ

ϕ r , θ = r cos ⁡ θ , r sen ⁡ θ

Então

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

O jacobiano vai ficar

J f = 2 r cos ⁡ θ 2 r sen ⁡ θ

Passo 6

Vamos agora para a matriz jacobiana de f

J h = J f ∙ J ϕ

J h r , θ = 2 r cos ⁡ θ 2 r sen ⁡ θ ∙ cos ⁡ θ - r sen ⁡ θ sen ⁡ θ r cos ⁡ θ =

⇒ 2 r cos 2 ⁡ θ + 2 r sen 2 ⁡ θ - 2 r 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ + 2 r 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ

⇒ 2 r 0

Isso nos diz que

∂ h ∂ r = 2 r

∂ h ∂ θ = 0

Passo 7

Usando os valores das derivadas que achamos vamos calcular

∂ h ∂ r r , θ + ∂ h ∂ θ r , θ

∂ h ∂ r r , θ + ∂ h ∂ θ r , θ = 2 r + 0 = 2 r

Que é exatamente o que ele disse, então é verdadeiro

Resposta

Verdadeiro

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