Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia de Funções Vetoriais

PUCRIO, Cálculo 3 - MAT1163, G1 - 2014.1, Questão 4b

Uma função f : R 2 R diz-se homogênea de grau a R , se f t X = t a f X para todo X R 2 \ 0,0 e para todo t R + .

Suponha que f : R 2 R é uma função derivável em R 2 \ 0,0 . Mostre que, se f é homogênea de grau a , então < f X , X >   = a f X , para todo X R 2 \ 0,0 .

Sugestão: aplicar a regra da cadeia à função ψ t = f t X

Passo 1

Primeiro vamos entender o que ele definiu como função homogênea. O que ele disse é que se multiplicar t por x e y temos como colocar t a em evidência na função.

Outra coisa é lembra que < f X , X > significa o produto escalar de f x , y com x , y

Vamos usar a sugestão dele, calcular   ψ ' t , isso significa aplicar a regra da cadeia em f t X

Repara que a função   ψ na verdade é composta de duas funções, umas que é a função f e outra que da os valores das suas componentes, ou seja, uma função ϕ

ϕ t = t X

Com

X = x , y

E a função f vai ser

ψ = f ϕ

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Passo 2

Vamos começar fazendo J ϕ , mas como é a função ϕ ? Ela vai ser

ϕ : R R 2

Certo? Temos 3 parâmetros sendo levados em 2 coordenadas.

Quais são as funções componentes?

ϕ 1 = x t

ϕ 2 = y t

J ϕ = ϕ 1 t ϕ 2 t

Passo 3

Vamos achar as derivadas

ϕ 1 t = x

ϕ 2 t = y

A matriz jacobiana vai ficar

J ϕ = x y

Passo 4

Vamos achar agora a matriz jacobiana de f

Ela vai ser

f : R 2 R

Certo? Temos 2 parâmetros sendo levados em 1 coordenadas.

Quais são as funções componentes?

f 1 = f x , y

Como vai ficar o jacobiano?

J f = f 1 x f 1 y = f x f y

Lembra que aqui temos que fazer esse jacobiano na outra função, ou seja, o jacobiano vai ficar

J f = f x ϕ t f y ϕ t = f x t x , t y f y t x , t y

Passo 5

Vamos agora para a matriz jacobiana de ψ

J ψ = J g J ϕ

J ψ = f x t x , t y f y t x , t y x y = x f x t x , t y + y f y t x , t y

Se liga num detalhe, lembra que o gradiente da função vai ser

f = f x x , y f y x , y

Se fizermos a aplicação t x , t y esse gradiente vai ser

f t x , t y = f x t x , t y f y t x , t y

Então podemos ver esse jacobiano como produto escalar de f t x , t y com x , y

J ψ = < f t X , X >

Passo 6

O próximo detalhe é usar o fato que a função é homogênea. Repara que, como a função f é homogênea de grau a ,

ψ t = f t x , t y = t a f x , y

Se derivarmos isso em relação a t vamos ter

ψ ' t = a t a - 1 f x , y

E lembrando que essa derivada vai ser o jacobiano, então, na verdade, temos

J ψ = a t a - 1 f x , y

Igualando isso a equação que achamos no passo 6

a t a - 1 f x , y = < f t X , X >

Está quase o que ele pediu, a grande diferença é que não temo o t , então malandramente vamos por t = 1

a f x , y = < f X , X >

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