Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia de Funções Vetoriais

PUCRIO, Cálculo 3 - MAT1163, G1 - 2014.1, Questão 1b

Seja g : R 2 R uma função diferenciável. Calcule a matriz jacobiana de

h x , y , z = g y z + x 2 , y 2 + x e z

no ponto 1,1 , 0

Passo 1

Repara que a função h na verdade é composta de duas funções, uma que é a função g e outra que da os valores das suas componentes, ou seja, uma função ϕ

ϕ x , y , z = y z + x 2 , y 2 + x e z

E a função h vai ser

h = g ϕ

Para fazer o jacobiano de h vamos ter que fazer o jacobiano de cada função.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar fazendo J ϕ , mas como é a função ϕ ? Ela vai ser

ϕ : R 3 R 2

Certo? Temos 3 parâmetros sendo levados em 2 coordenadas.

Quais são as funções componentes?

ϕ 1 = y z + x 2

ϕ 2 = y 2 + x e z

J ϕ = ϕ 1 x ϕ 1 y ϕ 1 z ϕ 2 x ϕ 2 y ϕ 2 z

Passo 3

Vamos achar as derivadas

ϕ 1 x = 2 x

ϕ 1 y = z

ϕ 1 z = y

ϕ 2 x = e z

ϕ 2 y = 2 y

ϕ 2 z = x e z

A matriz jacobiana vai ficar

J ϕ = 2 x z y e z 2 y x e z

Como ele deu um ponto temos que achar o jacobiano nesse ponto, 1,1 , 0

J ϕ = 2 0 1 e 0 2 1 . e 0 = 2 0 1 1 2 1

Passo 4

Vamos achar agora a matriz jacobiana de g

Ela vai ser

g : R 2 R

Certo? Temos 2 parâmetros sendo levados em 1 coordenadas.

Quais são as funções componentes?

g 1 = g

Como vai ficar o jacobiano?

J g = g u g v

Passo 5

Precisamos achar esse jacobiano no ponto.

Mas quais os valores de u e v ? Temos que trocar os valores do ponto 1,1 , 0 na função ϕ e descobrir u e v

ϕ 1,1 , 0 = 1.0 + 1 2 , 1 2 + 1 e 0 = 1,2

Então

u = 1

v = 2

O jacobiano vai ficar

J g = g u 1,2 g v 1,2

Passo 6

Vamos agora para a matriz jacobiana de f

J f = J g J ϕ

J f 1,1 , 0 = g u 1,2 g v 1,2 2 0 1 1 2 1 =

J f 1,1 , 0 = 2 g u 1,2 + g v 1,2 2 g v 1,2 g u 1,2 + g v 1,2

Resposta

J f 1,1 , 0 = 2 g u 1,2 + g v 1,2 2 g v 1,2 g u 1,2 + g v 1,2

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