Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia de Funções Vetoriais

UFF, Cálculo IIB, Listas GMA - Lista 10, Questão 15

Seja h x , y , z =   g y 2 + x z , x y z , em que g é uma função real diferenciável. Encontre h 1 , - 1 , - 4 sabendo que g - 3,2 = 1,3 e g 1,3 = - 3,2 .

Passo 1

Repara que a função h na verdade é composta de duas funções, umas que é a função g e outra que da os valores das suas componentes, ou seja, uma função ϕ

ϕ x , y , z = y 2 + x z , x y z

E a função h vai ser

h = g ϕ

Ele quer o vetor gradiente, mas o vetor gradiente nada mais é que o jacobiano da função.

Para fazer o jacobiano de h vamos ter que fazer o jacobiano de cada função.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar fazendo J ϕ , mas como é a função ϕ ? Ela vai ser

ϕ : R 3 R 2

Certo? Temos 3 parâmetros sendo levados em 2 coordenadas.

Quais são as funções componentes?

ϕ 1 = y 2 + x z

ϕ 2 = x y z

J ϕ = ϕ 1 x ϕ 1 y ϕ 1 z ϕ 2 x ϕ 2 y ϕ 2 z

Passo 3

Vamos achar as derivadas

ϕ 1 x = z

ϕ 1 y = 2 y

ϕ 1 z = x

ϕ 2 x = 1 2 y z x y z

ϕ 2 y = 1 2 x z x y z

ϕ 2 z = 1 2 x y x y z

A matriz jacobiana vai ficar

J ϕ = z 2 y x 1 2 y z x y z 1 2 x z x y z 1 2 x y x y z

Como ele deu um ponto temos que achar o jacobiano nesse ponto, 1 , - 1 , - 4

J ϕ = - 4 2 - 1 1 1 2 - 1 - 4 - 4 - 1 1 1 2 1 - 4 - 4 - 1 1 1 2 1 - 1 - 4 - 1 1

- 4 - 2 1 4 2 4 - 4 2 4 - 1 2 4

J ϕ = - 4 - 2 1 1 - 1 - 1 4

Passo 4

Vamos achar agora a matriz jacobiana de g

Ela vai ser

g : R 2 R

Certo? Temos 2 parâmetros sendo levados em 1 coordenadas.

Quais são as funções componentes? Ele não deu, então vamos considerar

g 1 = g

Como vai ficar o jacobiano?

J g = g u g u

Passo 5

Repara que esse jacobiano que achamos é igual ao vetor gradiente

J g = g

Mas quais os valores de u e v ? Temos que trocar os valores do ponto 1 , - 1 , - 4 na função ϕ e descobrir u e v

ϕ 1 , - 1 , - 4 = - 1 2 + 1 - 4 , - 4 - 1 1 = - 3,2

Então

u = - 3

v = 2

O jacobiano vai ficar

J g = g - 3,2

Pelo enunciado

J g = 1 3

Passo 6

Vamos agora para a matriz jacobiana de h

J h = J g J ϕ

J h 1 , - 1 , - 4 = 1 3 - 4 - 2 1 1 - 1 - 1 4 = - 4 + 3 - 2 - 3 1 - 3 4

J h 1 , - 1 , - 4 = - 1 - 5 1 4

Então

h 1 , - 1 , - 4 = - 1 - 5 1 4

Resposta

h 1 , - 1 , - 4 = - 1 - 5 1 4

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas