Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia de Funções Vetoriais

UFF, Cálculo 2B, Listas, Lista 10, questão 16.

Seja f u = u 2 + 1 ,   u , em que u = g x , y , z é uma função real diferenciável, tal que g 1,2 , 3 = 1 e g 2,1 , 3 = 5,3 , - 1 . Se F = f g , encontre F x 2,1 , 3 ,   F y 2,1 , 3 e F z 2,1 , 3 .

Passo 1

Vamos lá, temos uma função f u , que tem como entrada uma variável real u e retorna um vetor de duas coordenadas R R 2 . Essa variável u , por sua vez, é uma função que pega um ponto de 3 coordenadas, x , y , z , e leva em um número real R 3 R .

Aí já podemos ver que nossa função composta é válida, por que o domínio da mais externa, f u , é igual à imagem da mais interna, u = g x , y , z .

Agora, vamos ao que interessa, quando ele fala que quer F x , F y , e F z , o que está pedindo são as derivadas das funções compostas, ou seja, f g ' , que é, na prática, pela regra da cadeia,

F ' x , y , z = f g ' = f u u . g '

Sendo que essa f derivada em relação a u vem da regra da cadeia, e o “apóstrofo” de derivada é para uma, especificamente, em relação a x , y ou z .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Show, agora só precisamos usar essas coisas todas que nos deram no enunciado (porque né, não foram dadas à toa, e nem teremos como adivinhar alguns resultados que vão aparecer), e calcular a expressão encontrada no passo anterior!

Vamos começar vendo qual é o valor de f g para g 1,2 , 3 = 1 . Para isso, basta colocar esse 1   onde aparecer u , pois u = g x , y , z :

f g 1,2 , 3 = u 2 + 1 ,   u = g 1,2 , 3 2 + 1 , g 1,2 , 3

Lembrando que g 1,2 , 3 = 1 ,

f 1 = 1 2 + 1 ,   1 = ( 2,1 )

Opa! Olha bem esse vetor, 2,1 . Se colocasse um 3 aí na terceira casa não ia ficar igual ao do ponto que eles querem que calculemos as derivadas parciais? Não é nem um pouco por acaso XD O que acabamos de encontrar significa que, se colocarmos g x , y , z como argumento de f , para o ponto 1,2 , 3 , teremos um vetor 2,1 , e a terceira coordenada do ponto de F é dada pela função g , pois f não a altera ( f retorna um vetor de R 2 ). Então, se temos g 1,2 , 3 , e colocamos em f , teremos F 2,1 , 3 .

Passo 3

Agora que temos F , vejamos f u u para u = g 1,2 , 3 . Para isso, basta derivar a função vetorial, nesse caso, nem precisa da matriz jacobiana por que ela só tem uma variável u !

f ' u = 2 u , 1 2 u

Colocando o valor de g 1,2 , 3 , ou seja, u = 1 ,

f ' u = 2 , 1 2

Passo 4

E chegou a melhor parte, já que, como o gradiente g é exatamente g x , g y , g z , então tudo o que precisamos fazer é ver as coordenadas dadas pelo enunciado e fazer o produto escalar do passo 1 :

F ' 2,1 , 3 = f u ' = f ' u . g ' 2,1 , 3

Sabemos que o gradiente no ponto 2,1 , 3 é g 2,1 , 3 = 5,3 , - 1 . Logo, a derivada de g em relação a x   vale 5 , em relação a y vale 3 e em relação a z vale - 1 , para o ponto 2,1 , 3 .

Sabemos também que o vetor f u u é 2 , 1 2 .

Então, para a derivada de F em relação a x , teremos:

F x 2,1 , 3 = f ' u . g x 2,1 , 3

F x 2,1 , 3 = 2 , 1 2 . 5 = 10 , 5 2

Em relação a y , temos:

F y 2,1 , 3 = f ' u . g y 2,1 , 3

F y 2,1 , 3 = 2 , 1 2 . 3 = 6 , 3 2

E em relação a z , fica:

F z 2,1 , 3 = f ' u . g z 2,1 , 3

F z 2,1 , 3 = 2 , 1 2 . - 1 = - 2 , - 1 2

Resposta

Derivadas: F x 2,1 , 3 = 10 , 5 2 , F y 2,1 , 3 = 6 , 3 2 , F z 2,1 , 3 = - 2 , - 1 2

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