Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia de Funções Vetoriais

UFF, Cálculo 2B, Listas, Lista 10, questão 15.

Seja

h x , y , z = g ( y 2 + x z , x y z )

Onde g é uma função real diferenciavel. Encontre h ( 1 , - 1 , - 4 ) sabendo que g - 3,2 = ( 1,3 ) e g 1,3 = ( - 3,2 ) .

Passo 1

O que ele tá querendo é o gradiente da função h . Mas gradiente nada mais é do que o Jacobiano dessa função.

Beleza, como vamos calcular esse jacobiano?

Se você observar bem, h é uma função composta:

h = g u , v

u x , y , z = y 2 + x z

v x , y , z = x y z

= > σ x , y , z = y 2 + x z , x y z

Ou seja

h x , y , z = g σ x , y , z = g u x , y , z , v x , y , z

Beleza, agora como queremos enconrar o gradiente dessa função h , que é uma função composta, percebemos que temos um caso de regra da cadeia, né?

Então

h x , y , z = J h x , y , z = J g J σ

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos então calcular o jacobiano de σ

σ x , y , z = y 2 + x z , x y z

σ 1 = y 2 + x z

σ 2 = x y z

J σ = σ 1 x σ 1 y σ 1 z σ 2 x σ 2 y σ 2 z = z 2 y x y z 2 x y z x z 2 x y z x y 2 x y z

Mas, como ele quer o gradiente de h quando x = 1 , y = - 1 e z = - 4 , vamos calcular esse jacobiano neste ponto:

J σ 1 , - 1 , - 4 = - 4 2 - 1 1 - 1 - 4 2 1 - 1 - 4 1 - 4 2 1 - 1 - 4 1 - 1 2 1 - 1 - 4

J σ 1 , - 1 , - 4 = - 4 - 2 1 1 - 1 - 1 4

Passo 3

Agora vamos calcular o jacobiano de g :

g u , v

J g = g 1 u g 1 v

Beleza, mas como queremos o gradiente de h no ponto ( 1 , - 1 , - 4 ) , temos que achar os valores de u e v correspondentes:

u x , y , z = y 2 + x z

u 1 , - 1 , - 4 ,   = - 1 2 + 1 - 4 = - 3

v x , y , z = x y z

v 1 , - 1 , - 4 = 1 - 1 - 4 = 2

Então temos que achar o jacobiano de g no ponto ( - 3,2 ) . Mas, a questão já disse pra gente esse valor:

J g ( - 3,2 ) = 1 3

Passo 4

Pronto, agora é só calcular o produto escalar:

h 1 , - 1 , - 4 = J h 1 , - 1 , - 4 = J g ( - 3,2 ) J σ ( 1 , - 1 , - 4 )

h 1 , - 1 , - 4 = 1 3 - 4 - 2 1 1 - 1 - 1 4 = [ - 4 + 3 - 2 - 3 1 - 3 4 ] = - 1 - 5 1 4

Resposta

h 1 , - 1 , - 4 = - 1 - 5 1 4

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