Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia de Funções Vetoriais

PUC-RJ, Cálculo 3, P1 2014.2, questão 4, item b.

  1. Sejam f , g : R 3 R funções diferenciáveis tais que f x , y , g x , y = 0 para todo x , y ϵ R 2 . Sabendo que g = g x , y ,   f = f ( u , v , w ) e y w ( u , v , w ) 0 , calcule g x e g y

Passo 1

Temos que encontrar g x e g y , certo? Veja, a função g aparece dentro da função f = f u , v , w , ocupando a terceira posição w , tudo bem? Então, para que encontremos g x e g y em função dos dados do enunciado, nada mais justo do que derivar a função f ! Fazendo isso, com certeza poderemos isolar os g x e g y que aparecerem no caminho :D

Sabendo que

f = f u , v , w

Então, aplicando a regra da cadeia para derivar em relação a x , teremos:

f x = δ f δ u u , v , w . δ u δ x + δ f δ v u , v , w . δ v δ x + δ f δ w u , v , w . δ w δ x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Ok, o que fizemos agora foi aplicar a regra da cadeia para uma função de três variáveis, tudo literalmente. Mas ainda temos um dado muito importante, que é:

f x , y , g x , y = 0

Ou seja, na nossa função que derivamos, u = x , v = y e w = g x , y . Derivando cada termo, temos que δ u δ x = 1 , δ v δ x = 0 e que δ w δ x = δ g δ x !

Além disso, como f x , y , g x , y = 0 , então f ' = 0 !

Então,

δ f δ u u , v , w . 1 + δ f δ v u , v , w . 0 + δ f δ w u , v , w . δ g δ x = 0

δ g δ x = - δ f δ u u , v , w δ f δ w u , v , w

Passo 3

Agora vamos fazer exatamente o mesmo para a derivada em relação a y !

Temos, pela regra da cadeia:

f y = δ f δ u u , v , w . δ u δ y + δ f δ v u , v , w . δ v δ y + δ f δ w u , v , w . δ w δ y = 0

Como u = x , v = y e w = g x , y , então δ u δ y = 0 , δ v δ y = 1 e δ w δ y = δ g δ y . Assim,

δ f δ u u , v , w . 0 + δ f δ v u , v , w . 1 + δ f δ w u , v , w . δ g δ y = 0

δ g δ y = - δ f δ v u , v , w δ f δ w u , v , w

Resposta

δ g δ x = - δ f δ u u , v , w δ f δ w u , v , w

δ g δ y = - δ f δ v u , v , w δ f δ w u , v , w

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