Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia de Funções Vetoriais

UFF, Cálculo 2B, Listas, Lista 10, questão 13.

Sejam F x , y , z = 3 x 2 + y z , z + y 3 e G x , y = x 2 + y 2 , x y , x 3 , x + y 3 .

  1. Verifique que uma das compostas F G ou G F não está definida.
  2. Determine F ' x , y , z e G ' x , y , z
  3. Determine F G ' 1 , - 1 ou G F ' 1 , - 1,2 , a que for possível

Passo 1

a) Vamos lá, temos duas funções compostas, e apenas uma dela é definida. Se fosse múltipla escolha seria 50 % de chance de acertar :D Ok, mas não é, então partiu entender essa parada.

Acho que a maneira mais simples de entender isso é assim:

Podemos ver que a função F leva pontos do R 3 no R 2 , pois temos como entrada 3 coordenadas, x , y e z , e como saída um vetor de duas coordenadas. Já a função G , leva pontos do R 2 no R 4 , pois entra x e y , e resulta num vetor com quatro coordenadas. E além disso sabemos que uma função composta deve ser tal que o domínio da função mais externa seja igual ao da imagem da mais interna.

Nessa bagunça toda aí de cima, vemos que em termos de dimensão, aparece R 2 a imagem da função F e no domínio da função G . Assim, a única combinação válida é G F ,

G F = G F x , y , z

pois teremos R 2 sendo levado em R 2 (nesse caso, domínio e imagem de mesma dimensão).

Só pra entender melhor, vamos ver por que o outro caso não daria? Se quiséssemos usar pontos da imagem de G como argumentos da função F , teríamos pontos de 4 coordenadas (gerados por F ) numa função que precisa receber pontos de duas como argumento (argumentos da G têm duas dimensões), o que não daria certo!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b) Beleza, agora só temos que encontrar as derivadas parciais, e, pra isso, só encontrar a Jacobiana:

J = f 1 x f 1 y f 1 z f 2 x f 2 y f 2 z

Para a função F x , y , z = 3 x 2 + y z , z + y 3 , F 1 = 3 x 2 + y z e F 2 = z + y 3 , ou seja, primeira e segunda coordenadas. Eu peguei essa matriz aí da teoria, que por acaso é para uma função que nem essa F , que leva R 3 R 2 . Agora é achar as derivadas parciais de F 1 e F 2 em relação a cada uma das variáveis, x ,   y e z .

F 1 x = 6 x

F 1 y = z

F 1 z = y

Fazendo o mesmo para F 2 ,

F 2 x = 0

F 2 y = 3 y 2

F 2 z = 1

Passo 3

Show! Agora é só colocar os valores encontrados na Jacobiana!

F ' x , y = 6 x z y 0 3 y 2 1

Passo 4

Já sabe o que fazer agora, certo? Para de ver a resolução e tenta fazer o mesmo para a outra função! Lembre-se que o número de colunas da Jacobiana é o número de variáveis do domínio x , y , z , w , , e o número de linhas é a dimensão para onde esse domínio está sendo levado!

Passo 5

Agora que você já vez sozinho(a) para treinar, vê se ficou assim:

G x , y = x 2 + y 2 , x y , x 3 , x + y 3

Vemos que a nossa jacobiana deve ter duas colunas e quatro linhas, e fica assim:

J = δ G 1 δ x δ G 1 δ y δ G 2 δ x δ G 2 δ y δ G 3 δ x δ G 3 δ y δ G 4 δ x δ G 4 δ y

Sendo G 1 = x 2 + y 2 ,   G 2 = x y ,   G 3 = x 3 ,   G 4 = x + y 3

Passo 6

Encontrando as derivadas de cada G n em relação a x e em relação a y , teremos:

G 1 x = 2 x

G 1 y = 2 y

G 2 x = y

G 2 y = x

G 3 x = 3 x 2

G 3 y = 0

G 4 x = 1

G 4 y = 3 y 2

Passo 7

E colocando na matriz,

G ' x , y = 2 x 2 y y x 3 x 2 0 1 3 y 2

Passo 8

c)Finalmente! Pra fechar com chave de ouro, vamos calcular o valor da função composta para a função que existe, obviamente. Como vimos do passo 1, a função que dá pra fazer é G F .

Para fazer a derivada dessa função composta, temos que simplesmente usar a regra da cadeia! Para ilustrar melhor essa parada de G F , vamos escrever:

G F = G F x , y , z

Ou seja, se formos usar a regra da cadeia, temos que fazer a derivada da função de fora no ponto definido pela de dentro, vezes a derivada da função de dentro. Fica assim:

G F ' = G ' F x , y , z . F ' x , y , z

Passo 9

Começando por encontrar F 1 , - 1,2 , que será o argumento de G ' ,

F x , y , z = 3 x 2 + y z , z + y 3

F 1 , - 1,2 = 3 . 1 2 - 1.2,2 + - 1 3

F 1 , - 1,2 = 1,1

E colocando o ponto 1,1 como argumento de G ' , teremos:

G ' x , y = 2.1 2.1 1 1 3 . 1 2 0 1 3 . 1 2 = 2 2 1 1 3 0 1 3

Passo 10

Agora vamos colocar o ponto 1 , - 1,2 como argumento de F ' ,

F ' x , y = 6.1 2 - 1 0 3 . - 1 2 1 = 6 2 - 1 0 3 1

E multiplicamos uma matriz pela outra,

G ' F x , y , z . F ' x , y , z = 2 2 1 1 3 0 1 3 . 6 2 - 1 0 3 1

= 2.6 + 2.0 2.2 + 2.3 2 . - 1 + 2.1 1.6 + 1.0 1.2 + 1.3 1 . - 1 + 1.1 3.6 + 3.0 3.2 + 0.3 3 . - 1 + 0.1 1.6 + 1.0 1.2 + 3.3 1 . - 1 + 3.1

12 10 0 6 5 0 18 6 - 3 6 11 2

Resposta

a) G F é a que está definida

b)   F ' x , y = 6 x z y 0 3 y 2 1 e G ' x , y = 2 x 2 y y x 3 x 2 0 1 3 y 2

c)   12 10 0 6 5 0 18 6 - 3 6 11 2

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