Exercícios Resolvidos de Sistemas de Equações Lineares

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Enunciado

Considere dois cilindros longos de materiais diferentes onde um cilindro é encaixado dentro do outro. O raio interno do cilindro interno é a e o raio externo, b . O raio interno do cilindro externo também é b e seu raio externo é c . O módulo de Young e o coeficiente de Poisson do cilindro interno são E 1 e ν 1 , respectivamente, e os do cilindro externo são E 2 e ν 2 , respectivamente. A tensão radial σ r r , a tensão circunferencial σ θ θ , e o deslocamento radial u r são dados por:

Onde i = 1 se refere ao cilindro interno e i = 2 , ao cilindro externo.

Se a superfície externa do cilindro externo é submetida a um deslocamento radial compressivo U 0 e a superfície interna do cilindro interno não tem tensões radiais, então as seguintes quatro condições de contorno podem ser usadas para determinar A i e B i , i = 1,2 :

Substituindo as Equações (a) em (b) , o seguinte sistema de equações na forma matricial é obtido:

Determine a tensão circunferencial nos cilindros interno e externo em r = b , considerando ν 1 = ν 2 = 0,4 , E 1 = 2,1 ∙ 10 9   N / m 2 , E 2 = 0,21 ∙ 10 9   N / m 2 , U 0 = 0,25   m m , a = 5   m m , b = 6,4   m m e c = 8   m m .

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema de equações lineares na forma matricial, com quatro equações e quatro incógnitas, cuja solução nos dará as constantes A 1 , B 1 , A 2 e B 2 , necessárias para o cálculo da tensão circunferencial σ θ θ , dada pela equação:

O exercício pede para calcular a tensão circunferencial nos cilindros interno e externo em r = b . Para isto, primeiro resolveremos o sistema de equações lineares para obter A 1 , B 1 , A 2 e B 2 , usando uma das funções que vimos para resolver sistemas de equações lineares no MATLAB: matriz inversa, barra invertida, l i n s o l v e ( ) ou o r r e f ( ) .

Com a solução do sistema de equações, podemos calcular a tensão circunferencial de cada cilindro, usando a equação acima e considerando r = b . O cilindro interno é dado por i = 1 , logo, para calcular sua tensão circunferencial, usaremos A 1 e B 1 . Já para o cilindro externo, i = 2 e usaremos A 2 e B 2 para determinar sua tensão circunferencial.

Passo 2

O sistema de equações lineares no enunciado está no formato matricial:

A x = d

Onde A é uma matriz com os coeficientes das equações, x é o vetor com as incógnitas A 1 , B 1 , A 2 e B 2 e d é o vetor com os valores numéricos à direita do sinal de igual, que não são multiplicados por nenhuma incógnita. Logo, pelo enunciado, temos:

A = 1   1   - ( 1 + ν 1 )   0       a 2   b 2   1 - ν 1 b 2   0       0   - 1   1 + ν 2 E 1 / E 2   - ( 1 + ν 2 )       0   - b 2   - 1 - ν 2 b 2 E 1 / E 2   1 - ν 2 c 2        

x = A 1   B 1   A 2   B 2    

d = 0   0   0   - U 0 E 2 c    

Em um script novo no MATLAB, entre com os dados fornecidos pelo enunciado: os coeficientes de Poisson (representados abaixo por v 1 e v 2 ), os módulos de Young (representados abaixo por E 1 e E 2 ), o deslocamento radial compressivo (indicado por U 0 abaixo) e os raios a , b e c :

Note que o deslocamento radial U 0 e os raios a , b e c foram convertidos de m m para m por meio da multiplicação por 10 ^ ( - 3 ) . Fazemos isso porque a unidade do módulo de Young está em N / m 2 e para que a unidade da tensão que calcularemos no final também seja em N / m 2 .

Em seguida, entre com a matriz A e o vetor d :

Passo 3

Após definir A e d , podemos resolver o sistema de equações e encontrar o vetor x , representando a solução do sistema.

Vimos quatro formas de resolver um sistema linear no MATLAB: inversão de matriz A , barra invertida, l i n s o l v e ( ) e r r e f ( ) . Você pode usar a forma que quiser, eu escolhi usar a barra invertida:

Qualquer uma das formas retornará o mesmo vetor x . Rode seu programa e ele calculará o vetor x como:

Passo 4

Os elementos de x são as constantes A 1 , B 1 , A 2 e B 2 que servem para calcular a tensão circunferencial σ θ θ , dada pela equação:

Para facilitar a implementação da equação de σ θ θ para os dois cilindros, vamos armazenar os elementos de x em variáveis designando as constantes A 1 , B 1 , A 2 e B 2 , por meio das linhas de código:

Na primeira linha, armazenamos o primeiro elemento de x na variável A 1 , representando a incógnita A 1 . Na segunda linha, armazenamos o segundo elemento de x na variável B 1 , representando a incógnita B 1 . A 1 e B 1 são usados para calcular a tensão circunferencial do cilindro interno.

Na terceira linha, armazenamos o terceiro elemento de x na variável A 2 , representando a incógnita A 2 . Na quarta linha, armazenamos o quarto elemento de x na variável B 2 , representando a incógnita B 2 . A 2 e B 2 são usados para calcular a tensão circunferencial do cilindro externo.

Tendo feito essas definições, podemos implementar em nosso código a equação que calcula a tensão circunferencial dos dois cilindros, por meio das linhas de código:

Na primeira linha, dizemos que r = b , pois o enunciado pediu que calculássemos a tensão circunferencial nesse valor de raio.

Na segunda linha, calculamos a tensão circunferencial do cilindro interno, designado por i = 1 , usando a equação de σ θ θ . O resultado é armazenado em t c _ 1 .

Na terceira linha, calculamos a tensão circunferencial do cilindro externo, designado por i = 2 , também usando a equação de σ θ θ . O resultado é armazenado em t c _ 2 .

Ao executar o programa, você terá t c _ 1 e t c _ 2 , que são as tensões circunferenciais nos cilindros interno e externo em r = b :

Resposta

A tensão circunferencial no cilindro interno é:

σ θ θ 1 = - 6,3013 ∙ 10 7   N / m 2

A tensão circunferencial no cilindro externo é:

σ θ θ 2 = - 1,1790 ∙ 10 7   N / m 2