Exercícios Resolvidos de Sistemas de Equações Lineares

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Enunciado

Escreva aqui o enunciado

Seja A a matriz de coeficientes e B o lado direito das equações do sistema linear

Entre as matrizes A e B , e crie a matriz aumentada C para este sistema usando o comando do MATLAB C = A B . Resolva o sistema usando r r e f .

Passo 1

O exercício nos dá um sistema de equações lineares e pede para o resolvermos usando o comando r r e f ( ) do MATLAB. Contudo, perceba que o sistema tem 4 equações e 3 incógnitas. Isto quer dizer que tem pelo menos uma equação sobrando, que não ajuda a encontrar uma solução para o sistema. O comando r r e f ( ) vai nos ajudar a ver isso.

Passo 2

O primeiro passo para resolver o exercício é passarmos o sistema de equações para o formato matricial

A w = B

Onde A é uma matriz com os coeficientes das equações, w é o vetor com as incógnitas (no caso, x , y e z ) e B é o vetor com os valores numéricos à direita do sinal de igual, que não são multiplicados por nenhuma incógnita.

Para o sistema do exercício, temos:

A = 3 3 12 1 1 4 2 5 20 - 1 2 8

w = x y z

B = 6 2 10 4

Vamos entrar a matriz A e o vetor B no MATLAB. Crie um novo script e digite:

Em seguida, vamos criar a matriz aumentada C , usando a linha de código:

Este comando cria uma nova matriz C que é uma junção da matriz A com o vetor B . Basicamente, adicionamos mais uma coluna à A , correspondendo a B . Fica melhor de visualizar se rodarmos o programa e pedirmos ao MATLAB para imprimir a matriz aumentada C :

Repare que as três primeiras colunas de C são a matriz A e a última coluna, o vetor B .

Passo 3

É com a matriz aumentada C que encontraremos a solução do sistema linear, usando-a como entrada da função r r e f ( ) . No seu script do MATLAB, adicione a linha de código:

Esta linha de código cria a forma escalonada reduzida de C , por meio do r r e f ( ) , e a armazena na variável C _ e s c .

A solução do sistema de equações está na matriz C _ e s c . Rode seu programa e peça ao MATLAB para imprimi-la no Command Window:

Reparou que as duas últimas linhas de C _ e s c só tem zeros? Isto indica que há duas dependências lineares em C . Vamos vê-la novamente:

Veja que a segunda e a terceira coluna de C são linearmente dependentes: a terceira coluna, 12 4 20 8 T , é igual à segunda coluna, 3 1 5 2 T , multiplicada por 4 .

Podemos identificar outra dependência linear entre a segunda coluna e a última coluna de C : a última coluna, 6 2 1 0 4 T , é igual à segunda coluna, 3 1 5 2 T , multiplicada por 2 .

Além disso, as linhas de zeros indicam que duas das quatro equações do sistema não ajudariam em nada a encontrar um valor para as incógnitas. Na prática, trata-se de um sistema de 2 equações com 3 incógnitas.

Se partirmos de C _ e s c para voltar à forma de sistema de equações, temos:

x = 0

y + 4 z = 2

Temos um valor definido para x , mas não para y e z , eles podem assumir qualquer valor, desde que respeitem a equação y + 4 z = 2 . Por exemplo, se dissermos que y = 0 , temos que z = 0,5 . Esta é uma dentre as infinitas soluções do sistema.

Logo, este sistema é indeterminado e a segunda equação, y + 4 z = 2 , representa essas infinitas soluções.

Resposta

A solução do sistema é:

x = 0

y + 4 z = 2