Exercícios Resolvidos de Sistemas de Equações Lineares

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Enunciado

Considere o sistema linear:

  1. Use o comando do MATLAB r r e f para resolver o sistema;
  2. Seja A a matriz de coeficientes do sistema, e B o lado direito das equações:

Use o comando do MATLAB A \ B para resolver o sistema.

Passo 1

O exercício nos dá um sistema de equações lineares de 3 equações com 3 incógnitas. Na letra a, ele nos pede para resolver o sistema usando a função r r e f ( ) , que dá a forma escalonada reduzida de uma matriz.

Para resolver um sistema de equações lineares usando r r e f ( ) , temos que passar o sistema para o formato matricial:

A w = B

Onde A é uma matriz com os coeficientes das equações, w é o vetor com as incógnitas (no caso, x , y e z ) e B é o vetor com os valores numéricos à direita do sinal de igual, que não são multiplicados por nenhuma incógnita.

Com a matriz de coeficientes A e o vetor B , construímos a matriz aumentada C . É a matriz aumentada C que vai ser escalonada com o r r e f ( ) , e é a partir da análise de sua forma escalonada reduzida que encontramos uma solução para o sistem linear de equações.

A letra b nos dá a matriz de coeficientes A e o vetor B e pede para resolvermos o mesmo sistema de equações lineares de outra forma: usando a divisão de matrizes, ou seja, a barra invertida ( A \ B ).

Este exercício é legal porque podemos praticar duas formas diferentes de resolver o sistema e comparar os resultados.

Passo 2

Vamos resolver a letra a. A primeira coisa a fazer é criar um script novo no MATLAB e entrar com a matriz de coeficientes A e o vetor B , que nos são dados na letra b do exercício:

Em seguida, vamos construir a matriz aumentada C , usando a linha de código:

Este comando cria uma nova matriz C que é uma junção da matriz A com o vetor B . Basicamente, adicionamos mais uma coluna à A , correspondendo a B . Fica melhor de visualizar se pedirmos ao MATLAB para imprimir a matriz aumentada C :

Repare que as três primeiras colunas de C são a matriz A e a última coluna, o vetor B .

Passo 3

É com a matriz aumentada C que encontraremos a solução do sistema linear, usando-a como entrada da função r r e f ( ) . No seu script do MATLAB, adicione a linha de código:

Esta linha de código cria a forma escalonada reduzida de C , por meio do r r e f ( ) , e a armazena na variável C _ e s c .

A solução do sistema de equações está na matriz C _ e s c . Rode seu programa e peça ao MATLAB para imprimi-la no Command Window:

Perceba que as três primeiras colunas de C _ e s c compõem uma matriz identidade 3 × 3 . Isto quer dizer que nosso sistema de equações, com 3 equações e 3 incógnitas, tem solução única. Esta solução única está na quarta coluna de C _ e s c .

Podemos voltar ao formato de sistema de equações partindo de C _ e s c . Este processo nos dará a solução do sistema linear, pois teremos:

x = 1 y = - 1 z = 2

Pronto! Esta é a solução do sistema. Letra a respondida ;D

Passo 4

Vamos responder à letra b do exercício. Ela pede para resolvermos o mesmo sistema de equações, mas usando divisão de matrizes.

Vamos resolver a letra b no mesmo script onde fizemos a letra a. Como já entramos com a matriz de coeficientes A e o vetor B , basta adicionarmos a seguinte linha de código para respondermos a letra b:

O comando A \ B calculará a solução do sistema de equações e armazenará o resultado no vetor w .

Vamos rodar o programa e pedir ao MATLAB para nos mostrar w :

Repare que w é igualzinho à quarta coluna de C _ e s c . Logo, chegamos ao mesmo resultado usando r r e f ( ) e \ .

Resposta

  1. A solução do sistema, usando r r e f , é:
  2. x = 1 y = - 1 z = 2

  3. A solução do sistema linear de equações, usando A \ B , é:

x = 1 y = - 1 z = 2