Exercícios Resolvidos de Sistemas de Equações Lineares

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Enunciado

A figura abaixo mostra uma massa m suspensa por três cabos presos em três pontos B, C e D.

As tensões nos cabos AB, AC e AD são representadas por T 1 , T 2 e T 3 , respectivamente. Se a massa m está em equilíbrio estático, a soma dos componentes das tensões nas direções x , y e z deve ser igual a 0 . Isso resulta nas seguintes três equações:

Determine T 1 , T 2 e T 3 . Considere m = 0,1   k g e g = 10   m / s ² .

Passo 1

O exercício nos dá um um sistema de equações lineares, com três equações e três incógnitas. As incógnitas são T 1 , T 2 e T 3 .

O enunciado pede para solucionarmos o sistema linear, isto é, encontrarmos os valores de T 1 , T 2 e T 3 . Para isto, usaremos uma das funções que vimos para resolver sistemas de equações lineares no MATLAB: matriz inversa, barra invertida, l i n s o l v e ( ) ou o r r e f ( ) .

Passo 2

Primeiramente, vamos passar o sistema de equações lineares para o formato matricial:

A x = b

Onde A é uma matriz com os coeficientes das equações, x é o vetor com as incógnitas T 1 , T 2 e T 3 e b é o vetor com os valores numéricos à direita do sinal de igual, que não são multiplicados por nenhuma incógnita.

Para colocarmos o sistema no formato matricial, temos que dar uma manipuladinha na terceira equação do sistema, jogando m g à direita da igualdade:

5 T 1 35 + 5 T 2 34 + 5 T 3 42 = m g

Logo, este é o nosso sistema de equações:

T 1 35 - 3 T 2 34 + T 3 42 = 0

3 T 1 35 - 4 T 3 42 = 0

5 T 1 35 + 5 T 2 34 + 5 T 3 42 = m g

No formato matricial, temos:

A = 1 35   - 3 34   1 42   3 35   0   - 4 42   5 35   5 34   5 42  

x = T 1   T 2   T 3  

b = 0   0   m g  

Agora, crie um script novo no MATLAB, entre com a massa m , a aceleração da gravidade g , a matriz A e o vetor b :

Passo 3

Após entrar com A e b , podemos resolver o sistema de equações e encontrar o vetor x , representando a solução do sistema.

Vimos quatro formas de resolver um sistema linear no MATLAB: inversão de matriz A , barra invertida, l i n s o l v e ( ) e r r e f ( ) . Para resolver este exercício, recomendo utilizar qualquer uma das três primeiras opções, menos a r r e f ( ) , pois vamos praticar seu uso em outros exercícios mais pra frente. Mas caso queira usar a r r e f ( ) , não esqueça de construir a matriz aumentada [ A   b   ] .

Forma 1: inversa da matriz A

Caso queira usar a inversão da matriz A para resolver o sistema, digite no script a linha de código:

Forma 2: barra invertida (divisão de matrizes)

Caso queira usar a barra invertida para resolver o sistema, digite a linha de código:

Forma 3: l i n s o l v e

Caso queira usar a função l i n s o l v e ( ) para resolver o sistema, digite a linha de código:

Qualquer uma das três formas retornará o mesmo vetor x . Rode seu programa e ele calculará o vetor x como:

Isto significa que a solução do sistema de equações lineares é T 1 ≅ 0,5071   N , T 2 ≅ 0,2915   N e T 3 ≅ 0,4166   N .

Resposta

As tensões nos cabos AB, AC e AD são T 1 ≅ 0,5071   N , T 2 ≅ 0,2915   N e T 3 ≅ 0,4166   N , respectivamente