Exercícios Resolvidos de Sistemas de Equações Lineares

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Enunciado

Entre a matriz no MATLAB:

D = - 3   2   4   5   1     3   0   2   - 2   0     - 9   4   6   12   2    

Use o comando do MATLAB r r e f ( ) para encontrar a forma escalonada reduzida de D . Qual é a solução do sistema linear representado pela matriz aumentada D ?

Passo 1

Este exercício nos dá uma matriz e pede para aplicarmos a função r r e f ( ) nela, para encontrarmos a sua forma escalonada reduzida.

Em seguida, o exercício pergunta qual é a solução do sistema linear representado pela matriz aumentada D .

Mas neste exercício não vai ser fácil encontrar uma solução para o sistema linear. Lembra que uma matriz aumentada é a adição de uma coluna a mais na matriz de coeficientes do sistema linear? Em outras palavras, se o nosso sistema linear está no formato matricial:

A x = b

Onde A é uma matriz com os coeficientes das equações, x é o vetor com as incógnitas e b é o vetor com os valores numéricos à direita do sinal de igual, que não são multiplicados por nenhuma incógnita.

A matriz aumentada D é igual a D = A   b   . No caso da matriz do enunciado, temos que:

A = - 3   2   4   5     3   0   2   - 2     - 9   4   6   12    

b = 1   0   2  

Perceba que A é uma matriz retangular, com 3 linhas e 4 colunas. Isto quer dizer que ela é A matriz de coeficientes de um sistema com 3 equações e 4 incógnitas, logo, se trata de um sistema indeterminado, com infinitas soluções.

Portanto, neste exercício, não teremos uma solução única, mas sim, algumas equações que serão obtidas da saída de r r e f ( ) que representam as infinitas soluções do sistema linear.

Com o passo a passo, vai ficar mais fácil de entender.

Passo 2

Crie um script novo no MATLAB, entre com a matriz D e calcule sua forma escalonada reduzida usando a função r r e f ( ) :

A forma escalonada reduzida de D é armazenada na variável D _ e s c . Ao rodarmos o programa, temos que:

Com isso, respondemos a primeira parte do exercício.

Passo 3

Reparou que a última linha de D _ e s c só tem zeros? Isto indica que há uma dependência linear em D . Veja que a segunda e a última coluna de D são linearmente dependentes: a segunda coluna, 2   0   4   T , é igual à última coluna, 1   0   2   T , multiplicada por 2 .

Além disso, a linha de zeros indica que uma das três equações do sistema não ajudaria em nada a encontrar um valor para as incógnitas. Na prática, trata-se de um sistema de 2 equações com 4 incógnitas.

Vamos supor que se tratasse de um sistema de equações onde quiséssemos encontrar os valores de x ,   y ,   z e w . A matriz D _ e s c representa esse sistema após alguma manipulações algébricas. O novo sistema teria esta carinha, seguindo os elementos de D _ e s c :

x + 0,6667 z - 0,6667 w = 0

y + 3 z + 1,5 w = 0,5

Este sistema tem infinitas soluções. Elas são definidas quando estabelecemos valores para duas incógnitas e usamos as duas equações acima para encontrar as outras duas. Por exemplo, eu podia dizer que z = 1   e w = 0 , e, substituindo nas equações acima:

x + 0,6667 ∙ 1 - 0,6667 ∙ 0 = 0

y + 3 ∙ 1 + 1,5 ∙ 0 = 0,5

E eu teria x = 0,6667 e y = - 2,5 . Claro, essa seria apenas uma das infinitas soluções.

Resposta

O sistema linear representado pela matriz aumentada D tem infinitas soluções.