Exercícios Resolvidos de Sistemas de Equações Lineares

Ver Teoria

Enunciado

Considere o sistema de equações lineares abaixo:

- 2 z + y = - 3 z + y = 3

  1. Resolva o sistema de equações lineares usando o MATLAB;
  2. Plote as retas das equações e indique no gráfico a solução encontrada na letra a.

Passo 1

O exercício é dividido em duas partes: na letra a, ele nos pede para resolver um sistema de equações lineares composto por duas equações e duas incógnitas. Para isso, podemos usar qualquer um dos comandos aprendidos na aula: matriz inversa, barra invertida, l i n s o l v e ( ) ou o r r e f ( ) .

Na letra b, o exercício pede para plotarmos as retas das equações e indicar no gráfico gerado o ponto que representa a solução encontrada na letra a. É possível fazer isso porque podemos manipular as equações do sistema para um formato y = f ( z ) ou z = f ( y ) (dá na mesma usar qualquer um dos formatos) e plotar as retas em um plano. O ponto onde as duas retas representanto as equações se encontram, isto é, o ponto de intersecção das duas retas, representa a solução do sistema de equações lineares obtida na letra a.

Passo 2

Vamos começar respondendo a letra a. Primeiramente, vamos passar o sistema de equações lineares para o formato matricial:

A x = b

Onde A é uma matriz com os coeficientes das equações, x é o vetor com as incógnitas y e z e b é o vetor com os valores numéricos à direita do sinal de igual, que não são multiplicados por nenhuma incógnita.

Para o sistema:

- 2 z + y = - 3 z + y = 3

Temos:

A = - 2 1 1 1

x = y z

b = - 3 3

Agora, crie um script novo no MATLAB e digite a matriz A e o vetor b :

Eu entrei o vetor b como um vetor linha e transpus ele, usando a aspas simples ( ), para ele se tornar um vetor coluna. Mas você pode entrar com b da forma que quiser.

Passo 3

Após entrar com A e b , podemos resolver o sistema de equações e encontrar o vetor x , representando a solução do sistema.

Vimos quatro formas de resolver um sistema linear no MATLAB: inversão de matriz A , barra invertida, l i n s o l v e ( ) e r r e f ( ) . Para resolver este exercício, recomendo utilizar qualquer uma das três primeiras opções, menos a r r e f ( ) , pois vamos praticar seu uso em outros exercícios mais pra frente. Mas caso queira usar a r r e f ( ) , não esqueça de construir a matriz aumentada [ A b ] .

Forma 1: inversa da matriz A

Caso queira usar a inversão da matriz A para resolver o sistema, digite no script a linha de código:

Forma 2: barra invertida (divisão de matrizes)

Caso queira usar a barra invertida para resolver o sistema, digite a linha de código:

Forma 3: l i n s o l v e

Caso queira usar a função l i n s o l v e ( ) para resolver o sistema, digite a linha de código:

Qualquer uma das três formas retornará o mesmo vetor x . Rode seu programa e ele calculará o vetor x como:

Isto quer dizer que a solução do sistema de equações lineares é z = 2 e y = 1 . Esta é a resposta da letra a do exercício.

Passo 4

Vamos responder à letra b, que nos pede para gerar um gráfico com as equações do sistema e, em seguida, indicar no gráfico a solução do sistema obtida na letra a.

A primeira coisa que devemos fazer é dar uma manipulada nas equações, para deixá-las na forma y = f ( z ) ou z = f ( y ) . Eu escolhi o formato y = f ( z ) , mas se quiser o formato z = f ( y ) , sem problemas, o resultado será o mesmo.

Deixando as equações no formato y = f ( z ) , temos:

y = 2 z - 3 y = - z + 3

Você pode usar o mesmo script do MATLAB onde você fez a letra a ou criar um novo, tanto faz. Para podermos gerar o gráfico, vamos criar um vetor z indo de - 5 a 5 , com um passo igual a 1 , com o comando:

Em seguida, vamos calcular dois vetores, y 1 e y 2 , representando as funções acima:

y 1 representa o resultado da função y = 2 z - 3 , para cada elemento do vetor z . Da mesma forma, y 2 representa a função y = - z + 3 , calculada para cada elemento de z .

Passo 5

Após criarmos os vetores y 1 e y 2 , podemos plotar as retas representando as equações do sistema linear. Para isto, digite os comandos:

O primeiro comando gera, em um mesmo gráfico, as retas representando y = 2 z - 3 e y = - z + 3 .

O primeiro par dentro do p l o t ( ) , z , y 1 , representa y = 2 z - 3 e indica que z está no eixo horizontal do gráfico e que y 1 está no eixo vertical do gráfico.

Da mesma forma, o segundo par z , y 2 indica que z está no eixo horizontal e que y 1 está no eixo vertical e representa y = - z + 3 .

O segundo comando pede que o gráfico gerado pelo p l o t ( ) tenha linhas de grade, para facilitar a identificação das coordenadas dos pontos das retas.

Ao rodarmos o programa, temos este gráfico:

A reta azul representa y = 2 z - 3 e a reta vermelha, y = - z + 3 .

Para indicar no gráfico a solução da letra a, clique no ponto onde as retas se encontram. Veja pelas linhas de garde que elas se interceptam bem em z = 2 . O MATLAB mostrará as coordenadas do ponto onde você clicou. As coordenadas do ponto de intersecção das retas são a solução do sistema de equações lineares do exercício.

Resposta

  1. A solução do sistema de equações lineares é z = 2 e y = 1 .
  2. O gráfico abaixo apresenta as retas representando as equações do sistema:

As coordenadas do ponto de intersecção, apresentado no gráfico, representam a solução encontrada na letra a.