Exercícios Resolvidos de Solução de Vigas Simples

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Enunciado

Determine as equações de cortante e momento fletor da viga simples dada abaixo, com carregamento triangular. Não se esqueça de analisar as características pertinentes a carregamentos triangulares.

Passo 1

Já vimos que para solucionar a nossa viga precisamos seguir uma sequência de passos que vai nos ajudar a achar a equações de cada trecho, para isso devemos fazer o seguinte

  • Primeiro definimos quais serão os trechos com equações, que definimos como sendo o ponto em que há mudança brusca de carregamento
  • Depois usamos as equações de equilíbrio para determinar as reações de apoio.
  • Em seguida definimos uma equação para nossa carga distribuída ou concentrada
  • Por fim usamos as seguintes fórmulas, com suas condições de contorno para encontrarmos as equações de cortante e momento fletor
  • V ( x ) = ∫ q x + C o n s t a n t e ( 1 )

    M f l = ∫ V ( x ) + C o n s t a n t e ( 2 )

  • Não é o caso do nosso problema, mas ainda pode ter o último passo que é o desenho dos diagramas, porém, iremos apenas até o passo anterior com a definição das equações.

Dito tudo isso, vamos pôr a mão na massa!!!

Passo 2

Já temos um trecho, que nesse caso é o trecho AB. Podemos observar que dentro do trecho AB não há sub trechos, já que estamos apenas no trecho triangular e não há nem apoio e nem cargas concentradas nesse trecho, com isso já executamos a primeira parte do nosso passo a passo.

Antes de determinamos as reações de apoio vamos montar uma equação que compatibilize com o carregamento do trecho AB, dessa forma, imagine que colocamos o nosso triângulo em um plano cartesiano.

Agora é só determinar a equação da reta, usando a equação

y = a x + b

Substituindo os nossos dados teremos

0 = a . 0 + b 25 = a . 20 + b

Resolvendo o sistema teremos

a = 1,25

b = 0

Logo a nossa equação será

y = 1,25 x

Passo 3

Agora que já determinamos os trechos e a equação, vamos determinar as reações de apoio, já que na nossa listinha esse é o passo 2, usando as equações de equilíbrio e definindo o diagrama de corpo livre, teremos

Vale relembrar que em carregamentos triangulares a resultante fica a 2/3 da base com relação ao menor lado ou a 1/3 da base em relação ao maior lado, é muito importante lembrar disso na hora de fazer a conta, pois irá influenciar no cálculo do momento fletor.

  • ∑ M f l A = 0
  • 20 V b - 25   . 20 2 . 2 3 . 20 = 0

    20 V b = 3333,33

    V b = 166,67   K N

  • ∑ F V = 0
  • V b + V a - 25   . 20 2 = 0

    167 + V a - 25   . 20 2 = 0

    V a = 83,33   K N

    E assim terminamos o nosso segundo passo

    Passo 4

    Já sabemos a equação do nosso carregamento, definimos ele no nosso passo 2, mas para integração precisamos tomar muito cuidado, porque precisamos trocar o sinal do nosso carregamento, dessa forma, teremos que

    q x = - q = - 1,25 x

    Não se esqueça que sempre definimos a nossa carga com o sinal contrário para podermos fazer a integração.

    Com isso já podemos ira pra o passo de determinação das equações, fazendo para cada trecho teremos,

  • Trecho AB
  • V ( x ) = ∫ q x + C o n s t a n t e ( 1 )

    V ( x ) = ∫ - 1,25 x + C 1

    V x = - 1,25 x 2 2 + C 1

    Perceba que pelas condições de contorno que quando x = 0 estamos exatamente em cima do nosso ponto A, logo o nosso cortante nesse ponto é a própria reação de apoio em A. que nesse caso está para cima, e sempre que fizemos uma análise vindo pela esquerda com o vetor para cima ele será positivo.

  • X=0
  • V 0 = 83,33

    Substituindo na nossa equação teremos

    V x = - 1,25 x 2 2 + C 1

    V 0 = - 1,25 . ( 0 ) 2 2 + C 1 = 83

    C 1 = 83,33

    Com isso a nossa equação do cortante será

    V x = - 1,25 x 2 2 + 83,33

    Para calcular o momento fletor teremos que usar a outra fórmula, com isso teremos

    M f l = ∫ V ( x ) + C 2

    M f l = ∫ - 1,25 x 2 2 + 83,33 + C 2

    M f l = - 1,25 x 3 2 . 1 3 + 83,33 x + C 2

    Perceba que pelas condições de contorno que quando x = 0 estamos exatamente em cima do nosso apoio A, logo o nosso momento fletor nesse ponto é zero, já que nosso apoio é do segundo gênero, e definiremos como positivo todos os momentos que tracionarem as fibras da parte de baixo, e negativo todos os vetores que estiverem tracionando as fibras da parte de cima,

  • X=0

M 0 = 0

Substituindo na nossa equação teremos

M f l ( x ) = - 1,25 x 3 2 . 1 3 + 83,33 x + C 2

M f l 0 = - 1,25   .     0 3 2 . 1 3 + 83,33 . ( 0 ) + C 2 = 0

C 2 = 0

Com isso a nossa equação do momento fletor será

M f l x = - 1,25 x 3 6 + 83,33 x

Com isso atendemos os pedidos do nosso enunciado, descobrindo as equações do trecho AB assim como as extremidades desse trecho. Agora é só ficar tranquilo pra poder integrar os trechos que forem necessários e treinar mais um pouco, beleza, vamos aos exercícios então.

Resposta

Equações trecho AB

Cortante

V x = - 1,25 x 2 2 + 83,33

Momento fletor

M f l x = - 1,25 x 3 6 + 83,33 x

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