Exercícios Resolvidos de Solução de Vigas Simples

Ver Teoria

Enunciado

A viga abaixo está sujeita a um carregamento retangular e trapezoidal uniforme. Com base em seus conhecimentos de estruturas determine a equação do cortante e do momento fletor no trecho AB da viga.

Dica expert: Determine as condições de contorno através do diagrama de corpo livre, e não calculando as equações dos trechos anteriores ao trecho AB

Passo 1

Já vimos que para solucionar a nossa viga precisamos seguir uma sequência de passos que vai nos ajudar a achar a equações de cada trecho, para isso devemos fazer o seguinte

  • Primeiro definimos quais serão os trechos com equações, que definimos como sendo o ponto em que há mudança brusca de carregamento
  • Depois usamos as equações de equilíbrio para determinar as reações de apoio.
  • Em seguida definimos uma equação para nossa carga distribuída ou concentrada
  • Por fim usamos as seguintes fórmulas, com suas condições de contorno para encontrarmos as equações de cortante e momento fletor
  • V ( x ) = ∫ q x + C o n s t a n t e ( 1 )

    M f l = ∫ V ( x ) + C o n s t a n t e ( 2 )

  • Não é o caso do nosso problema, mas ainda pode ter o último passo que é o desenho dos diagramas, porém, iremos apenas até o passo anterior com a definição das equações.

Dito tudo isso, vamos pôr a mão na massa!!!

Passo 2

Já temos um trecho, que nesse caso é o trecho AB. Podemos observar que dentro do trecho AB não há sub trechos, já que estamos apenas no trecho trapezoidal e não há nem apoio e nem cargas concentradas nesse trecho, com isso já executamos a primeira parte do nosso passo a passo.

Antes de determinamos as reações de apoio vamos montar uma equação que compatibilize com o carregamento do trecho AB, dessa forma, imagine que colocamos o nosso trapézio em um plano cartesiano.

Agora é só determinar a equação da reta, usando a equação

y = a x + b

Substituindo os nossos dados teremos

12 = a . 5,5 + b 18 = a . 9,5 + b

Resolvendo o sistema teremos

a = 1,5

b = 3,75

Logo a nossa equação será

y = 1,5 x + 3,75

Passo 3

Agora que já determinamos os trechos e a equação, vamos determinar as reações de apoio, já que na nossa listinha esse é o passo 2, usando as equações de equilíbrio e definindo o diagrama de corpo livre, teremos

  • ∑ M f l 1 = 0
  • 9,5 V 2 - 12   .   9,5   . 9,5 2 - 18 - 12 . 4 2 . 2 3 . 4 + 5,5 - 10   .     3 = 0

    9,5 V 2 = 669,5

    V 2 = 70,5   K N

  • ∑ F V = 0
  • V 2 + V 1 - 10 - 12   .     9,5 - 18 - 12 . 4 2 = 0

    70,5   + V 1 - 10 - 12   .     9,5 - 18 - 12 . 4 2 = 0

    V 1 = 65,5   K N

    E assim terminamos o nosso segundo passo

    Passo 4

    Já sabemos a equação do nosso carregamento, definimos ele no nosso passo 2, mas para integração precisamos tomar muito cuidado, porque precisamos trocar o sinal do nosso carregamento, dessa forma, teremos que

    q x = - q = - 1,5 x + 3,75 = - 1,5 x - 3,75

    Não se esqueça que sempre definimos a nossa carga com o sinal contrário para podermos fazer a integração.

    Com isso já podemos ira pra o passo de determinação das equações, fazendo para cada trecho teremos,

  • Trecho AB
  • V ( x ) = ∫ q x + C o n s t a n t e ( 1 )

    V ( x ) = ∫ - 1,5 x - 3,75 + C 1

    V x = - 1,5 x 2 2 - 3,75 x + C 1

    Perceba que pelas condições de contorno que quando x = 5,5 estamos exatamente em cima do nosso ponto A, logo o nosso cortante nesse ponto é o somatório dos cortantes no ponto A, que será definido como positivo todos os vetores que estiverem para cima, e negativo todos os vetores que estiverem para baixo, dessa forma, cortando a nossa barra teremos

  • X=5,5
  • V 5,5 = 65,5 - 12   .   5,5 - 10 = - 10,5

    Substituindo na nossa equação teremos

    V 5,5 = - 1,5 . 5,5 2 2 - 3,75 . 5,5 + C 1 = - 10,5

    C 1 = 32,8

    Com isso a nossa equação do cortante será

    V x = - 1,5 x 2 2 - 3,75 x + 32,8

    Para calcular o momento fletor teremos que usar a outra fórmula, com isso teremos

    M f l = ∫ V ( x ) + C 2

    M f l = ∫ - 1,5 x 2 2 - 3,75 x + 32,8 + C 2

    M f l = - 1,5 x 3 2 . 1 3 - 3,75 x 2 2 + 32,8 x + C 2

    Perceba que pelas condições de contorno que quando x = 5,5 estamos exatamente em cima do nosso ponto A, logo o nosso momento fletor nesse ponto é o somatório dos momentos no ponto A, que será definido como positivo todos os momentos que tracionarem as fibras da parte de baixo, e negativo todos os vetores que estiverem tracionando as fibras da parte de cima,

  • X=5,5

M 5,5 = 65,5   .   5,5 - 12   .   5,5   . 5,5 2 - 10   .   2,5 = 153,75

Substituindo na nossa equação teremos

M f l ( x ) = - 1,5 x 3 2 . 1 3 - 3,75 x 2 2 + 32,8 x + C 2

M f l 5,5 = - 1,5 . 5,5 3 2 . 1 3 - 3,75 . 5,5 2 2 + 32,8 . 5,5 + C 2 = 153,75

C 2 = 71,66 25

Com isso a nossa equação do momento fletor será

M f l x = - 1,5 . x 3 2 . 1 3 - 3,75 . x 2 2 + 32,8   .     x + 71,6625

Com isso atendemos os pedidos do nosso enunciado, descobrindo as equações do trecho AB assim como as extremidades desse trecho. Agora é só ficar tranquilo pra poder integrar os trechos que forem necessários e treinar mais um pouco, beleza, vamos aos exercícios então.

Resposta

Equações trecho AB

Cortante

V x = - 1,5 x 2 2 - 3,75 x + 32,8

Momento fletor

M f l x = - 1,5 . x 3 6 - 3,75 . x 2 2 + 32,8   .     x + 71,6625

Exercícios de Livros Relacionados

Para o carregamento na viga determine (a) os diagramas de momento fletor e cortante e (b) os valores absolutos máximos de momento fletor e esforço cortante.
Para o carregamento na viga determine (a) os diagramas de momento fletor e cortante e (b) os valores absolutos máximos de momento fletor e esforço cortante.
O cabo A B de vão L e uma viga simplesmente apoiada A ' B ' de mesmo vão estão sujeitos a carregamentos verticais idênticos, como mostra a figura. Mostre que a intensidade do momento fletor no ponto C
Um cabo, que tem peso por unidade de comprimento igual a 30N / m , é suspenso entre dois pontos de igual elevação, distanciados 48m entre si. Determine a menor flecha possivel do cabo se a tração máxi
Se o peso por unidade de comprimento do cabo A B é w 0 / cos 2 ⁡ θ , prove que a curva formada pelo cabo é um arco de círculo. (Dica: use a propriedade indicada no Problema 7.124 ).