Exercícios Resolvidos de Solução de Vigas Simples

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Enunciado

Para a viga abaixo, determine as equações de cortante e de momento fletor para cada trecho a partir da fórmula de integração. Defina os intervalos de cálculos assim como as equações usadas.

Passo 1

Já vimos que para solucionar a nossa viga precisamos seguir uma sequência de passos que vai nos ajudar a achar a equações de cada trecho, para isso devemos fazer o seguinte

  • Primeiro definimos quais serão os trechos com equações, que definimos como sendo o ponto em que há mudança brusca de carregamento
  • Depois usamos as equações de equilíbrio para determinar as reações de apoio.
  • Em seguida definimos uma equação para nossa carga distribuída ou concentrada
  • Por fim usamos as seguintes fórmulas, com suas condições de contorno para encontrarmos as equações de cortante e momento fletor
  • V ( x ) = ∫ q x + C o n s t a n t e ( 1 )

    M f l = ∫ V ( x ) + C o n s t a n t e ( 2 )

  • Não é o caso do nosso problema, mas ainda pode ter o último passo que é o desenho dos diagramas, porém, iremos apenas até o passo anterior com a definição das equações.
  • Dito tudo isso, vamos pôr a mão na massa!!!

    Passo 2

    Vemos que o primeiro passo está definido como definição dos trechos em que temos que definir as equações, como faremos isso de maneira simples? Basta seguir o seguinte

  • Primeiro olhamos a barra apenas com a carga distribuída
  • depois pensamos no seguinte, onde tem mudança brusca de esforço na barra? Nesse caso temos 4 posições:

  • Reação de apoio em A
  • Reação de apoio em B
  • Carga concentrada próximo ao apoio A
  • Carga concentrada próximo ao apoio B

Perceba que apesar de o apoio A ser do segundo gênero, temos apenas carregamentos na vertical, o que nos permite desprezar esforços horizontais.

Como já definimos os pontos de mudanças conseguimos definir os trechos.

Logo teremos que definir as equações nos trechos AC, CD e DB.

Passo 2

Agora que já determinamos os trechos, vamos determinar as reações de apoio, já que na nossa listinha esse é o passo 2, perceba que no passo anterior já definimos o nosso diagrama de corpo livre, analisando ele pelas medidas do enunciado e juntamente usando as equações de equilíbrio, teremos

  • ∑ M f l A = 0
  • 5 V b - 20   .   3 - 20   .     2 - 50   .     5     .   5 2 = 0

    5 V b = 725

    V b = 145   K N

  • ∑ F V = 0
  • V b + V a - 20 - 20 - 50   .   5 = 0

    145   + V a - 20 - 20 - 50   .     5 = 0

    V a = 145   K N

    E assim terminamos o nosso segundo passo

    Passo 4

    Definida as nossas reações de apoio, precisamos definir a equação do nosso carregamento, veja que nesse caso tanto para o trecho AC quanto para o trecho CD quando para o trecho DB o nosso carregamento distribuído é constante, logo podemos definir que a equação do nosso carregamento por todo o eixo da barra é dado por

    q x = - q = - 50 K N m

    Não se esqueça que sempre definimos a nossa carga com o sinal contrário para podermos fazer a integração.

    Com isso já podemos ira pra o passo de determinação das equações, fazendo para cada trecho teremos,

  • Trecho AC
  • V ( x ) = ∫ q x + C o n s t a n t e ( 1 )

    V ( x ) = ∫ - 50 + C 1

    V x = - 50 x + C 1

    Perceba que pelas condições de contorno que quando x = 0 estamos exatamente em cima do nosso apoio A, logo o nosso cortante nesse ponto é a reação em A que é dada por

    V a = 145   K N

    Substituindo na nossa equação teremos que

    V 0 = - 50   .   0 + C 1 = 145

    C 1 = 145

    Logo a nossa equação do cortante será

    V x = - 50 x + 145

    Para calcular o momento fletor teremos que usar a outra fórmula, com isso teremos

    M f l = ∫ V ( x ) + C o n s t a n t e ( 2 )

    M f l = ∫ - 50 x + 145 + C 2

    M f l = - 50 x 2 2 + 145 x + C 2

    Perceba que nesse caso temos que em x = 0 , o nosso momento fletor é nulo, já que representa um apoio do segundo gênero, dessa forma, usando as condições de contorno agora descoberta, teremos que

    M f l 0 = - 50   .   0 2 2 + 145   . 0 + C 2 = 0

    C 2 = 0

    Dessa forma a nossa equação será

    M f l = - 50 x 2 2 + 145 x

    M f l = - 25 x 2 + 145 x

  • Trecho CD
  • Para esse trecho temos o mesmo carregamento distribuído, usando a fórmula teremos

    V ( x ) = ∫ q x + C o n s t a n t e ( 1 )

    V ( x ) = ∫ - 50 + C 1

    V x = - 50 x + C 1

    Perceba que pelas condições de contorno que quando x = 2 estamos exatamente em cima do nosso ponto C, logo o nosso cortante nesse ponto é o resultado da equação do trecho AC com x=2, levando em conta o carregamento em C, ou seja, a nossa condição de contorno será

    V x = - 50 x + 145

    V 2 = - 50   .     2 + 145

    V 2 = 45   K N

    Mas como eu disse, para o trecho AC ainda temos que considerar o carregamento de 20KN concentrado, dessa forma teremos

    V C D 5 = 45 - 20 = 25   K N

    OBS:. Perceba que usamos - 20 pois quando fazemos a análise de carregamentos, sempre que analisarmos a barra vindo pela esquerda e o carregamento for para baixo, será negativo, sempre que for para cima será positivo. Quando viermos pela direita será o contrário, para baixo será positivo e para cima negativo. Fique bem atento aos sinais para não errar de bobeira.

    Substituindo na nossa equação teremos que

    V 2 = - 50   .   2 + C 1 = 25

    C 1 = 125

    Logo a nossa equação do cortante será

    V x = - 50 x + 125

    Para calcular o momento fletor teremos que usar a outra fórmula, com isso teremos

    M f l = ∫ - 50 x + 125 + C 2

    M f l = - 50 x 2 2 + 125 x + C 2

    Perceba que pelas condições de contorno que quando x = 2 estamos exatamente em cima do nosso ponto C, logo o nosso momento fletor nesse ponto é o resultado da equação do trecho AC com x=2, nesse caso não precisamos levar em conta o carregamento em C, já que ele não produz momento fletor, ou seja, a nossa condição de contorno será

    M f l = - 25 x 2 + 145 x

    M f l 2 = - 25   .   4 + 145 . 2 = 190

    Sabendo disso basta que substituamos isso na nossa equação, e teremos que

    M f l 2 = - 50   . 2 2 2 + 125   . ( 2 ) + C 2 = 190

    C 2 = 40

    Dessa forma a nossa equação será

    M f l = - 25 x 2 + 125 x + 40

  • Trecho DB

Para esse trecho temos o mesmo carregamento distribuído, usando a fórmula teremos

V ( x ) = ∫ q x + C o n s t a n t e ( 1 )

V ( x ) = ∫ - 50 + C 1

V x = - 50 x + C 1

Perceba que pelas condições de contorno que quando x = 3 estamos exatamente em cima do nosso ponto D, logo o nosso cortante nesse ponto é o resultado da equação do trecho CD com x=3, levando em conta o carregamento em D, ou seja, a nossa condição de contorno será

V x = - 50 x + 125

V 3 = - 50   .     3 + 125

V 3 = - 25   K N

Mas como eu disse, para o trecho CD ainda temos que considerar o carregamento de 20KN concentrado, dessa forma teremos

V D B 3 = - 25 - 20 = - 45   K N

OBS:. Perceba que usamos - 20 pois quando fazemos a análise de carregamentos, sempre que analisarmos a barra vindo pela esquerda e o carregamento for para baixo, será negativo, sempre que for para cima será positivo. Quando viermos pela direita será o contrário, para baixo será positivo e para cima negativo. Fique bem atento aos sinais para não errar de bobeira.

Substituindo na nossa equação teremos que

V 3 = - 50   .     3 + C 1 = - 45

C 1 = 105

Logo a nossa equação do cortante será

V x = - 50 x + 105

Para calcular o momento fletor teremos que usar a outra fórmula, com isso teremos

M f l = ∫ - 50 x + 105 + C 2

M f l = - 50 x 2 2 + 105 x + C 2

Perceba que pelas condições de contorno que quando x = 3 estamos exatamente em cima do nosso ponto D, logo o nosso momento fletor nesse ponto é o resultado da equação do trecho CD com x=3, nesse caso não precisamos levar em conta o carregamento em D, já que ele não produz momento fletor, ou seja, a nossa condição de contorno será

M f l = - 25 x 2 + 125 x + 40

M f l 3 = - 25   .   9 + 125 . 3 + 40 = 190

Sabendo disso basta que substituamos isso na nossa equação, e teremos que

M f l 2 = - 50   . 3 2 2 + 105   . ( 3 ) + C 2 = 190

C 2 = 100

Dessa forma a nossa equação será

M f l = - 25 x 2 + 105 x + 100

Com isso atendemos os pedidos do nosso enunciado, descobrindo as equações de cada trecho assim como as extremidades de cada trecho, viu como é tranquilo? Só é um pouco trabalhoso, mas com mais exercícios a gente paga os macetes. Vamos treinar mais? Vamos para o próximo exercício então.

Resposta

Equações trecho AC

Cortante

V x = - 50 x + 145

Momento fletor

M f l = - 25 x 2 + 145 x

Equações trecho CD

Cortante

V x = - 50 x + 125

Momento fletor

M f l = - 25 x 2 + 125 x + 40

Equações trecho DB

Cortante

V x = - 50 x + 105

Momento fletor

M f l = - 25 x 2 + 105 x + 100

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