Exercícios Resolvidos de Solução de Vigas Simples

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Enunciado

Para a viga abaixo, determine as equações de cortante e de momento fletor para cada trecho a partir da fórmula de integração. Defina os intervalos de cálculos assim como as equações usadas.

Passo 1

Já vimos que para solucionar a nossa viga precisamos seguir uma sequencia de passos que vai nos ajudar a achar a equações de cada trecho, para isso devemos fazer o seguinte

  • Primeiro definimos quais serão os trechos com equações, que definimos como sendo o ponto em que há mudança brusca de carregamento
  • Depois usamos as equações de equilíbrio para determinar as reações de apoio.
  • Em seguida definimos uma equação para nossa carga distribuída ou concentrada
  • Por fim usamos as seguintes fórmulas, com suas condições de contorno para encontrarmos as equações de cortante e momento fletor
  • V ( x ) = ∫ q x + C o n s t a n t e ( 1 )

    M f l = ∫ V ( x ) + C o n s t a n t e ( 2 )

  • Não é o caso do nosso problema, mas ainda pode ter o ultimo passo que é o desenho dos diagramas, porém, iremos apenas até o passo anterior com a definição das equações.
  • Dito tudo isso, vamos por a mão na massa!!!

    Passo 2

    Vemos que o primeiro passo está definido como definição dos trechos em que temos que definir as equações, como faremos isso de maneira simples? Basta seguir o seguinte

  • Primeiro olhamos a barra apenas com a carga distribuída
  • depois pensamos no seguinte, onde tem mudança brusca de esforço na barra? Nesse caso temos 3 posições:

  • Reação de apoio em A
  • Reação de apoio em B
  • Carga concentrada na extremidade

Perceba que apesar de o apoio A ser do segundo gênero, temos apenas carregamentos na vertical, o que nos permite desprezar esforços horizontais.

Como já definimos os pontos de mudanças conseguimos definir os trechos.

Logo teremos que definir as equações nos trechos AB e BC, sendo o ponto C a extremidade da barra com a carga concentrada.

Passo 2

Agora que já determinamos os trechos, vamos determinar as reações de apoio, já que na nossa listinha esse é o passo 2, perceba que no passo anterior já definimos o nosso diagrama de corpo livre, analisando ele pelas medidas do enunciado e juntamente usando as equações de equilíbrio, teremos

  • ∑ M f l A = 0
  • 5 V b - 15   .   6,5 - 23,4   .   6,5   . 6,5 2 = 0

    5 V b = 591,825

    V b = 118,365   K N

  • ∑ F V = 0
  • V b + V a - 15 - 23,4   .   6,5 = 0

    118,365   + V a - 15 - 23,4   .   6,5 = 0

    V a = 48,735   K N

    E assim terminamos o nosso segundo passo

    Passo 4

    Definida as nossas reações de apoio, precisamos definir a equação do nosso carregamento, veja que nesse caso tanto para o trecho AB quanto para o trecho BC o nosso carregamento distribuído é constante, logo podemos definir que a equação do nosso carregamento por todo o eixo da barra é dado por

    q x = - q = - 23,4 K N m

    Não se esqueça que sempre definimos a nossa carga com o sinal contrario para podermos fazer a integração.

    Com isso já podemos ira pra o passo de determinação das equações, fazendo para cada trecho teremos,

  • Trecho AB
  • V ( x ) = ∫ q x + C o n s t a n t e ( 1 )

    V ( x ) = ∫ - 23,4 + C 1

    V x = - 23,4 x + C 1

    Perceba que pelas condições de contorno que quando x = 0 estamos exatamente em cima do nosso apoio A, logo o nosso cortante nesse ponto é a reação em A que é dada por

    V a = 48,735   K N

    Substituindo na nossa equação teremos que

    V 0 = - 23,4   .   0 + C 1 = 48,735

    C 1 = 48,735

    Logo a nossa equação do cortante será

    V x = - 23,4 x + 48,735

    Para calcular o momento fletor teremos que usar a outra fórmula, com isso teremos

    M f l = ∫ V ( x ) + C o n s t a n t e ( 2 )

    M f l = ∫ - 23,4 x + 48,735 + C 2

    M f l = - 23,4 x 2 2 + 48,735 x + C 2

    Perceba que nesse caso temos que em x = 0 , o nosso momento fletor é nulo, já que representa um apoio do segundo gênero, dessa forma, usando as condições de contorno agora descoberta, teremos que

    M f l 0 = - 23,4 0 2 2 + 48,735 . 0 + C 2 = 0

    C 2 = 0

    Dessa forma a nossa equação será

    M f l = - 23,4 x 2 2 + 48,735 x

  • Trecho BC

Para esse trecho temos o mesmo carregamento distribuído, usando a fórmula teremos

V ( x ) = ∫ q x + C o n s t a n t e ( 1 )

V ( x ) = ∫ - 23,4 + C 1

V x = - 23,4 x + C 1

Perceba que pelas condições de contorno que quando x = 5 estamos exatamente em cima do nosso apoio B, logo o nosso cortante nesse ponto é o resultado da equação do trecho AB com x=5, levando em conta a reação de apoio em B, ou seja, a nossa condição de contorno será

V x = - 23,4 x + 48,735

V 5 = - 23,4   .   5 + 48,735

V 5 = - 68,265   K N

Mas como eu disse, para o trecho AB ainda temos que considerar a sua reação de apoio, dessa forma teremos

V A B 5 = - 68,265 +   118,365 = 50,1   K N

Substituindo na nossa equação teremos que

V 5 = - 23,4   .   5 + C 1 = 50,1

C 1 = 167,1

Logo a nossa equação do cortante será

V x = - 23,4 x + 167,1

Para calcular o momento fletor teremos que usar a outra fórmula, com isso teremos

M f l = ∫ - 23,4 x + 167,1 + C 2

M f l = - 23,4 x 2 2 + 167,1 x + C 2

Perceba que pelas condições de contorno que quando x = 5 estamos exatamente em cima do nosso apoio B, logo o nosso momento fletor nesse ponto é o resultado da equação do trecho AB com x=5, nesse caso não precisamos levar em conta a reação de apoio em B, já que ela não produz momento fletor, com isso, a nossa condição de contorno será

M f l = - 23,4 x 2 2 + 48,735 x

M f l 5 = - 23,4 5 2 2 + 48,735 . 5 = - 48,825

Sabendo disso basta que substituamos isso na nossa equação, e teremos que

M f l 5 = - 23,4 . 5 2 2 + 167,1 . ( 5 ) + C 2 = - 48,825

C 2 = - 591,825

Dessa forma a nossa equação será

M f l = - 23,4 x 2 2 + 167,1 x - 591,825

Com isso atendemos os pedidos do nosso enunciado, descobrindo as equações de cada trecho assim como as extremidades de cada trecho, viu como é tranquilo? Só é um pouco trabalhoso, mas com mais exercícios a gente paga os macetes. Vamos treinar mais? Vamos para o próximo exercício então.

Resposta

Equações trecho AB

Cortante

V x = - 23,4 x + 48,735

Momento fletor

M f l = - 23,4 x 2 2 + 48,735 x

Equações trecho BC

Cortante

V x = - 23,4 x + 167,1

Momento fletor

M f l = - 23,4 x 2 2 + 167,1 x - 591,825

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