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Exercícios Resolvidos de Substituição direta

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Enunciado

Para uma malha de realimentação representada pelo diagrama de blocos abaixo:

Determine o ganho e período finais para um controlador proporcional para a função de transferência de processo abaixo:

G 1 s = 1 4 s + 1 2 s + 1 s + 1

Passo 1

Como a malha que estamos trabalhando é do tipo feedback, a função de transferência equivalente da malha é:

C s R s = G C G 1 1 + G C G 1

Mas nós estamos interessados na equação característica, que nada mais é do que o denominador da função de transferência. Sendo assim, nossa equação de transferência para esse caso será:

1 + G C G 1 = 0

Passo 2

Agora devemos substituir as funções de transferência do controlador e do processo na nossa equação característica:

G C = K C

G 1 s = 1 4 s + 1 2 s + 1 s + 1

Substituindo na equação característica:

1 + G C G 1 = 0

1 + K C 1 4 s + 1 2 s + 1 s + 1 = 0

Multiplicando tudo pelo denominador:

4 s + 1 2 s + 1 s + 1 + K c = 0

8 s 3 + 14 s 2 + 7 s + 1 + K C = 0

Passo 3

Finalmente então, podemos aplicar a nossa substituição para encontrar o ganho e período finais:

s = i ω u

K C = K C u

8 i ω u 3 + 14 i ω u 2 + 7 i ω u + 1 + K C u = 0

Como:

i 2 = - 1

i 3 = - i

- 8 i ω u 3 - 14 ω u 2 + 7 i ω u + 1 + K C u = 0

Separando a parte real da imaginária e igualando as duas a 0 :

- 8 i ω u 3 + 7 i ω u = 0

- 14 ω u 2 + 1 + K C u = 0

Da parte imaginária temos:

- 8 i ω u 3 + 7 i ω u = 0

- 8 ω u 2 + 7 = 0

ω u = 7 8 = 0,93   r a d / s

Substituindo na parte real:

- 14 0,93 2 + 1 + K C u = 0

K C u = 11,25   % S C % S T

Para determinar o períofo final, devemos aplicar a fórmula:

T u = 2 π ω u

Logo:

T u = 2 π 0,93 = 6,72   m i n

Resposta

K C u = 11,25 % S C % S T

T u = 6,72   m i n