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Exercícios Resolvidos de Substituição direta

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Enunciado

Para uma malha de realimentação representada pelo diagrama de blocos abaixo:

Determine o ganho e período finais sabendo que o controlador é do tipo proporcional e que:

G v = 1 2 s + 1

G p = ( 0,1 s + 1 ) ( 0,5 s + 1 ) ( 1,5 s + 1 )

H = 2

Passo 1

Nesse exercício temos uma malha feedback com controlador, válvula, processo e transmissor. Essa malha tem a seguinte função de transferência equivalente:

C s R s = G C G v G p 1 + G C G v G p H

Se você não se lembra como chegar nessa expressão, dá um revisadinha na aula de álgebra de diagrama de blocos, essa deduação tem que estar na ponta da língua.

Sendo assim, nossa equação característica será:

1 + G C G v G p H = 0

Passo 2

Agora devemos substituir as funções de transferência do controlador e do processo na nossa equação característica:

G C = K C

G v = 1 2 s + 1

G p = ( 0,1 s + 1 ) ( 0,5 s + 1 ) ( 1,5 s + 1 )

H = 2

Substituindo na equação característica:

1 + G C G v G p H = 0

1 + K C 2 ( 0,1 s + 1 ) 2 s + 1 0,5 s + 1 1,5 s + 1 = 0

Multiplicando tudo pelo denominador:

2 s + 1 0,5 s + 1 1,5 s + 1 + 2 K c ( 0,1 s + 1 ) = 0

1,5 s 3 + 4,75 s 2 + 4 s + 1 + 0 , 2 K C s + 2 K C = 0

1,5 s 3 + 4,75 s 2 + ( 4 + 0 , 2 K C ) s + 1 + 2 K C = 0

Passo 3

Aplicando aquela substituição marota:

s = i ω u

K C = K C u

1,5 i ω u 3 + 4,7 5 i ω u 2 + ( 4 + 0 , 2 K C u ) i ω u + 1 + 2 K C u = 0

Como:

i 2 = - 1

i 3 = - i

- 1,5 i ω u 3 - 4,7 5 ω u 2 + ( 4 + 0 , 2 K C u ) i ω u + 1 + 2 K C u = 0

Separando a parte real da imaginária e igualando as duas a 0 :

- 1,5 i ω u 3 + ( 4 + 0 , 2 K C u ) i ω u = 0

- 4,7 5 ω u 2 + 1 + 2 K C u = 0

Da parte imaginária temos:

- 1,5 i ω u 3 + ( 4 + 0 , 2 K C u ) i ω u = 0

- 1,5 i ω u 2 + 4 + 0 , 2 K C u = 0

ω u = 4 + 0 , 2 K C u 1,5

Substituindo na parte real:

- 4,7 5 4 + 0 , 2 K C u 1,5 2 + 1 + 2 K C u = 0

- 4,7 5 4 + 0 , 2 K C u 1,5 + 1 + 2 K C u = 0

Multiplicando toda equação por 1,5 :

- 4,75 4 + 0,2 K C u + 1,5 + 3 K C u = 0

- 19 - 0,95 K C u + 1,5 + 3 K C u = 0

- 17,5 + 2,05 K C u = 0

K C u = 17,5 2,05

K C u = 8,54   % S C % S T

Substituindo na expressão da frequência:

ω u = 4 + 0,2 K C u 1,5 = 4 + 1,71 1,5 = 1,95

Para determinar o períofo final, devemos aplicar a fórmula:

T u = 2 π ω u

Logo:

T u = 2 π 1,95 = 3,22   m i n

Resposta

K C u = 8,54 % S C % S T

T u = 3,22   m i n