Responde Aí

Exercícios Resolvidos de Substituição direta

Ver Teoria

Enunciado

Para uma malha de realimentação representada pelo diagrama de blocos abaixo:

Determine o ganho e período finais para um controlador proporcional para a função de transferência de processo abaixo:

G 1 s = ( 0,5 s + 1 ) 4 s + 1 2 s + 1 s + 1

Passo 1

Como a malha que estamos trabalhando é do tipo feedback, a função de transferência equivalente da malha é:

C s R s = G C G 1 1 + G C G 1

Mas nós estamos interessados na equação característica, que nada mais é do que o denominador da função de transferência. Sendo assim, nossa equação de transferência para esse caso será:

1 + G C G 1 = 0

Passo 2

Como estamos trabalhando com um controlador proporcional, a função de transferência para o controlador será:

G C = K C

E a do processo:

G 1 s = ( 0,5 s + 1 ) 4 s + 1 2 s + 1 s + 1

Colocando tudo na equação característica:

1 + G C G 1 = 0

1 + K C ( 0,5 s + 1 ) 4 s + 1 2 s + 1 s + 1 = 0

Multiplicando tudo pelo denominador:

4 s + 1 2 s + 1 s + 1 + K c ( 0,5 s + 1 ) = 0

8 s 3 + 14 s 2 + 7 s + 1 + K C 0,5 s + K C = 0

8 s 3 + 14 s 2 + 7 + 0,5 K C s + 1 + K C = 0

Passo 3

Fazendo aquela substituição marota:

s = i ω u

K C = K C u

8 i ω u 3 + 14 i ω u 2 + ( 7 + 0,5 K C u ) i ω u + 1 + K C u = 0

Como:

i 2 = - 1

i 3 = - i

- 8 i ω u 3 - 14 ω u 2 + ( 7 + 0,5 K C u ) i ω u + 1 + K C u = 0

Devemos então separar a parte real da imaginária e igualar as duas a 0 :

- 8 i ω u 3 + ( 7 + 0,5 K C u ) i ω u = 0

- 14 ω u 2 + 1 + K C u = 0

Da parte imaginária temos:

- 8 i ω u 3 + 7 + 0,5 K C u i ω u = 0

- 8 ω u 2 + 7 + 0,5 K C u = 0

ω u = 7 + 0,5 K C u 8

Substituindo na parte real:

- 14 7 + 0,5 K C u 8 2 + 1 + K C u = 0

- 14 7 + 0,5 K C u 8 + 1 + K C u = 0

- 14 7 + 0,5 K C u + 8 = 8 K C u = 0

- 98 - 7 K C u + 8 + 8 K C u = 0

K C u = 90   % S C % S T

Substituindo o valor de K C u :

ω u = 7 + 0,5 K C u 8

ω u = 7 + 45 8 = 2,55 r a d / m i n

Para determinar o períofo final, devemos aplicar a fórmula:

T u = 2 π ω u

Logo:

T u = 2 π 2,55 = 2,46   m i n

Resposta

K C u = 90 % S C % S T

T u = 2,46   m i n