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Exercícios Resolvidos de Substituição direta

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Enunciado

Para uma malha de realimentação representada pelo diagrama de blocos abaixo:

Determine o ganho e período finais para um controlador proporcional para a função de transferência de processo abaixo:

G 1 s = e - s s + 1 2

Passo 1

Como a malha que estamos trabalhando é do tipo feedback, a função de transferência equivalente da malha é:

C s R s = G C G 1 1 + G C G 1

Mas nós estamos interessados na equação característica, que nada mais é do que o denominador da função de transferência. Sendo assim, nossa equação de transferência para esse caso será:

1 + G C G 1 = 0

Passo 2

Como estamos trabalhando com um controlador proporcional, a função de transferência para o controlador será:

G C = K C

Só que dessa vez apareceu um termo exponencial que indica um tempo morto, ou seja temos que pedir ajuda para o nosso amigo Padé e sua aproximação:

e - t 0 s ≅ 1 - t 0 2 s 1 + t 0 2 s

Para o nosso exercício então:

e - 0,6 s ≅ 1 - 1 2 s 1 + 1 2 s = 1 - 0 , 5 s 1 + 0,5 s

A nossa função de transferêncua para o processo será então:

G 1 s = 1 - 0,5 s s + 1 2 ( 1 + 0,5 s )  

Colocando tudo na equação característica:

1 + G C G 1 = 0

1 + K C 1 - 0,5 s s + 1 2 ( 1 + 0,5 s ) = 0

Multiplicando tudo pelo denominador:

s + 1 2 ( 1 + 0,5 s ) + K c ( 1 - 0 , 5 s ) = 0

s 2 + 2 s + 1 ( 1 + 0,5 s ) + K C - 0 , 5 K C s = 0

0,5 s 3 + 2 s 2 + 2,5 s + 1 + K C - 0,5 K C s = 0

0,5 s 3 + 2 s 2 + 2,5 - 0,5 K C s + 1 + K C = 0

Passo 3

Fazendo aquela substituição esperta:

s = i ω u

K C = K C u

0,5 i ω u 3 + 2 i ω u 2 + ( 2,5 - 0,5 K C u ) i ω u + 1 + K C u = 0

Mas:

i 2 = - 1

i 3 = - i

- 0,5 i ω u 3 - 2 ω u 2 + ( 2,5 - 0 , 5 K C u ) i ω u + 1 + K C u = 0

Agora, já sabe né, devemos separar a parte real da imaginária e igualar as duas a 0 :

- 0,5 i ω u 3 + ( 2,5 - 0,5 K C u ) i ω u = 0

- 2 ω u 2 + 1 + K C u = 0

Da parte imaginária temos:

- 0,5 i ω u 3 + 2,5 - 0,5 K C u i ω u = 0

- 0,5 i ω u 2 + 2,5 - 0,5 K C u = 0

ω u = 2,5 - 0,5 K C u 0,5 = 5 - K C u

Substituindo na parte real:

- 2 ω u 2 + 1 + K C u = 0

- 2 5 - K C u 2 + 1 + K C u = 0

- 2 5 - K C u + 1 + K C u = 0

- 10 + 2 K C u + 1 + K C u = 0

3 K C u - 9 = 0

K C u = 9 3 = 3 % S C % S T

Substituindo na expressão da frequência:

ω u = 5 - K C u

ω u = 5 - 3 = 2 = 1,41   r a d / m i n

Para determinar o períofo final, devemos aplicar a fórmula:

T u = 2 π ω u

Logo:

T u = 2 π 1,41 = 4,44   m i n

Resposta

K C u = 3 % S C % S T

T u = 4,44   m i n