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Exercícios Resolvidos de Substituição direta

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Enunciado

Para uma malha de realimentação representada pelo diagrama de blocos abaixo:

Determine o ganho e período finais para um controlador proporcional para a função de transferência de processo abaixo:

G 1 s = e - 0,6 s 6 s + 1

Passo 1

Como a malha que estamos trabalhando é do tipo feedback, a função de transferência equivalente da malha é:

C s R s = G C G 1 1 + G C G 1

Mas nós estamos interessados na equação característica, que nada mais é do que o denominador da função de transferência. Sendo assim, nossa equação de transferência para esse caso será:

1 + G C G 1 = 0

Passo 2

Como estamos trabalhando com um controlador proporcional, a função de transferência para o controlador será:

G C = K C

Porém, aqui esbarramos com um problema. A função do processo tem um termo exponencial: o famoso tempo morto.

Sempre que precisarmos fazer substituição direta em uma função de transferência com tempo morto nós acionaremos o nosso megazord chamado aproximação de Padé.

Relembrando a fórmula da aproximação de Padé:

e - t 0 s ≅ 1 - t 0 2 s 1 + t 0 2 s

Para o nosso exercício então:

e - 0,6 s ≅ 1 - 0,6 2 s 1 + 0,6 2 s = 1 - 0,3 s 1 + 0,3 s

A nossa função de transferêncua para o processo será então:

G 1 s = 1 - 0,3 s 6 s + 1 1 + 0,3 s  

Colocando tudo na equação característica:

1 + G C G 1 = 0

1 + K C 1 - 0,3 s 6 s + 1 1 + 0,3 s = 0

Multiplicando tudo pelo denominador:

6 s + 1 1 + 0,3 s + K c ( 1 - 0,3 s ) = 0

1,8 s 2 + 6,3 s + 1 + K C - 0,3 K C s = 0

1,8 s 2 + 6,3 - 0,3 K C s + 1 + K C = 0

Passo 3

Hora de aplicar nossa substituição:

s = i ω u

K C = K C u

1,8 i ω u 2 + ( 6,3 - 0,3 K C u ) i ω u + 1 + K C u = 0

Como:

i 2 = - 1

- 1,8 ω u 2 + ( 6,3 - 0,3 K C u ) i ω u + 1 + K C u = 0

Agora, já sabe né, devemos separar a parte real da imaginária e igualar as duas a 0 :

( 6,3 - 0,3 K C u ) i ω u = 0

- 1,8 ω u 2 + 1 + K C u = 0

Da parte imaginária temos:

6,3 - 0,3 K C u i ω u = 0

6,3 - 0,3 K C u = 0

K C u = 6,3 0,3 = 21 % S C % S T

Da parte real:

- 1,8 ω u 2 + 1 + K C u = 0

- 1,8 ω u 2 + 1 + 21 = 0

ω u = 22 1,8 = 3,50   r a d / m i n

Para determinar o períofo final, devemos aplicar a fórmula:

T u = 2 π ω u

Logo:

T u = 2 π 3,50 = 1,80   m i n

Resposta

K C u = 21 % S C % S T

T u = 1,80   m i n