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Exercícios Resolvidos de Substituição direta

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Enunciado

Para uma malha de realimentação representada pelo diagrama de blocos abaixo:

Determine o ganho e período finais para um controlador proporcional para a função de transferência de processo abaixo:

G 1 s = ( 0,3 s + 1 ) s + 1 2 5 s + 1

Passo 1

Como a malha que estamos trabalhando é do tipo feedback, a função de transferência equivalente da malha é:

C s R s = G C G 1 1 + G C G 1

Para o método da substituição direta, o que tilizamos é a equação característica da malha, que nada mais é que o denominador da função de gransferência queivalente, ou seja, a nossa equação característica é:

1 + G C G 1 = 0

Passo 2

O nosso controlador é do tipo proporcional, portanto sua função de transferência será:

G C = K C

E a do processo:

G 1 s = ( 0,3 s + 1 ) s + 1 2 5 s + 1

Colocando tudo na equação característica:

1 + G C G 1 = 0

1 + K C ( 0,3 + 1 ) s + 1 2 5 s + 1 = 0

Multiplicando tudo pelo denominador:

s + 1 2 5 s + 1 + K c 0,3 s + 1 = 0

5 s 3 + 11 s 2 + 7 s + 1 + 0,3 K C s + K C = 0

5 s 3 + 11 s 2 + 7 + 0,3 K C s + 1 + K C = 0

Passo 3

Aplicando a nossa famosa substituição:

s = i ω u

K C = K C u

5 i ω u 3 + 11 i ω u 2 + ( 7 + 0,3 K C u ) i ω u + 1 + K C u = 0

Como:

i 2 = - 1

i 3 = - i

- 5 i ω u 3 - 11 ω u 2 + ( 7 + 0,3 K C u ) i ω u + 1 + K C u = 0

Separando a parte real da imaginária e igualando as duas a 0 :

- 5 i ω u 3 + ( 7 + 0,3 K C u ) i ω u = 0

- 11 ω u 2 + 1 + K C u = 0

Da parte imaginária temos:

- 5 i ω u 3 + ( 7 + 0,3 K C u ) i ω u = 0

- 5 ω u 2 + 7 + 0,3 K C u = 0

ω u = 7 + 0,3 K C u 5

Substituindo na expressão da parte real:

- 11 7 + 0,3 K C u 5 2 + 1 + K C u = 0

- 11 7 + 0,3 K C u 5 + 1 + K C u = 0

- 11 1,4 + 0,06 K C u + 1 + K C u = 0

- 15,4 - 0,66 K C u + 1 + K C u = 0

0,34 K C u = 14,4

K C u 42,35   % S C % S T

Substituindo o valor de K C u :

ω u = 7 + 0,3 K C u 5

ω u = 7 + 12,7 5 = 1,98   r a d / m i n

Para determinar o períofo final, devemos aplicar a fórmula:

T u = 2 π ω u

Logo:

T u = 2 π 1,83 = 3,16   m i n

Resposta

K C u = 42,35 % S C % S T

T u = 3,16   m i n