Exercícios Resolvidos de Substituição direta

Ver Teoria

Enunciado

Um processo pode ser definido pela seguinte função de transferência:

G 1 s = K 5 s - 1 τ V s + 1 τ T s + 1

Onde τ V e τ T são as constantes de tempo da válvula de controle e do transmissor, respectivamente. Considerando um controlador proporcional, encontre a faixa do ganho da malha, K K C para a qual a malha é estável se τ V = 0,1   m i n e τ T = 1,0   m i n

Passo 1

Primeiramente devemos identificar noss malha para podermos encontrar a equação característica dela.

Como a função de transferência dada no exercício já envolve as dinâmicas da válvula e do transmissor, a malha pode ser simplificada da seguite maneira:

Onde G 1 ( s ) é a função de transferência do processo, válvula e transmissor que foi dada no enunciada e G C ( s ) é a função de transferência do controlador.

Como o enunciado diz que o controlador [e do tipo proporcional:

G C = K C

E como a malha é uma malha do tipo feedback, a função de transferência equivalente fica:

C s R s = G C G 1 1 + G C G 1

Mas nós estamos interessados na equação característica, que nada mais é do que o denominador da função de transferência. Sendo assim, nossa equação de transferência para esse caso será:

1 + G C G 1 = 0

Passo 2

Com os valores das constantes dados, nossa função de transferência fica assim:

G 1 s = K 5 s - 1 s + 1 ( 0,1 s + 1 )

Substituindo na equação característica:

1 + G C G 1 = 0

1 + K C K 5 s - 1 s + 1 ( 0,1 s + 1 ) = 0

Multiplicando tudo pelo denominador:

5 s - 1 s + 1 0,1 s + 1 + K K c = 0

0,5 s 3 + 5,4 s 2 + 3,9 s - 1 + K K C u = 0

Passo 3

Uma vez que temos a equação característica bonitinha, o próximo passo é fazer a substituição:

s = i ω u

K K C = K K C u

0,5 i ω u 3 + 5,4 i ω u 2 + 3,9 i ω u - 1 + K K C u = 0

Como:

i 2 = - 1

i 3 = - i

- 0,5 i ω u 3 - 5,4 ω u 2 + 3,9 i ω u - 1 + K K C u = 0

Agora devemos separar a parte real da imaginária e igualar as duas a 0 :

- 0,5 i ω u 3 + 3,9 i ω u = 0

- 5,4 ω u 2 - 1 + K K C u = 0

Da parte imaginária temos:

- 0,5 i ω u 3 + 3,9 i ω u = 0

- 0,5 ω u 2 + 3,9 = 0

ω u = 3,9 0,5 = 2,79   r a d / s

Substituindo na parte real:

- 5,4 2,79 2 - 1 + K K C u = 0

K K C u = 43,12

Portanto:

K K C < 43,12

Passo 4

O enunciado pede que a gente encontre a faixa de estabilidade pra K K C , entretanto achamos apenas o limite superior.

Para achar o limite inferior, usamos o critério dos coeficientes, que diz que para a malha ser estável todos os coeficientes devem possuir o mesmo sinal.

Sendo assim:

- 1 + K K C > 0

K K C > 1

Portanto, a faixa de estabilidade para o ganho da malha é:

1 < K K C < 43,12

Resposta

1 < K K C < 43,12