Exercícios Resolvidos de Tensão Admissível e Fator de Segurança

Ferdinand P. Beer et al., Mecânica dos materiais, 5ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011, pp. 62-1.67.

Uma chapa de 10   m m de espessura está encaixada em um bloco de concreto e é utilizada para ancorar um cabo vertical de alta resistência, conforme mostra a figura. O diâmetro do furo na chapa é de 24   m m , o limite de resistência do aço utilizado é 250   M P a e o limite da tensão de aderência entre a chapa e o concreto é 2,1   M P a .

Sabendo que se deseja um coeficiente de segurança de 3,60 quando P = 18   k N , determine ( a ) a largura a necessária para a chapa e ( b ) a dimensão b mínima com que a placa deve ser encaixada no bloco de concreto. (Despreze a tensão normal entre o concreto e a extremidade inferior da placa.)

Passo 1

O que está acontecendo?

Esse conjunto pode falhar, fazendo o bloco de concreto se soltar, de duas formas:

1. A tensão normal média σ = N / A na chapa de aço pode superar o limite σ f a l h a = 250   M P a .

Sobre essa tensão normal média σ na chapa, podemos observar duas coisas:

  • Ela é causada basicamente pela tração realizada pela força P = 18   k N , de tal forma que a força normal interna N na chapa é igual à P ;
  • E ela é maior na seção transversal da chapa que é mais reduzida pelo furo de diâmetro d = 24   m m , já que essa seção vai possuir a menor área A para resistir à força normal N :

2. Ou o conjunto pode falhar se a tensão cisalhante média τ = V / A entre as superfícies da chapa e do concreto superar o limite τ f a l h a = 2,1   M P a .

Quanto a essa tensão cisalhante média τ , podemos observar:

  • Que ela é distribuída ao longo da área A das laterais da chapa submersas no bloco de concreto;
  • Que 2 dessas laterais tem dimensões a   ×   b e 2 tem dimensões e   ×   b , em que e é a espessura de 10   m m da chapa;
  • E que, para manter o equilíbrio da chapa de aço, essa tensão τ tem que corresponder a uma força cortante V resultante igual à força P = 18   k N :

E o que é que o exercício quer?

Ele quer saber quais são as dimensões mínimas a e b para que sejam satisfeitas as condições de projeto:

σ σ a d m     &     τ τ a d m

Sendo que as tensões admissíveis σ a d m e τ a d m não são as tensões de falha σ f a l h a = 250   M P a e τ f a l h a = 2,1   M P a , mas sim essas tensões divididas pelo fator de segurança F S = 3,60 :

σ a d m = σ f a l h a F S     &     τ a d m = τ f a l h a F S

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar calculando as tensões admissíveis σ a d m para a tensão normal na chapa e τ a d m para a tensão cisalhante de aderência entre a chapa e o concreto:

σ a d m = σ f a l h a F S     &     τ a d m = τ f a l h a F S

Substituindo σ f a l h a = 250   M P a , τ f a l h a = 2,1   M P a e F S = 3,60 :

σ a d m = 250   M P a 3,60     &     τ a d m = 2,1   M P a 3,60

Calculando, isso dá:

σ a d m = 69 , 4 -   M P a     &   τ a d m = 0,58 3 -   M P a

Passo 3

Tensões admissíveis calculadas, agora podemos aplicar as condições de projeto σ σ a d m   &   τ τ a d m .

Começando pela tensão normal na chapa de aço:

σ σ a d m

Usando a fórmula da tensão normal média σ = N / A :

N A σ a d m

Bom, nos interessa avaliar a seção crítica da chapa: a seção onde a tensão normal média N / A é maior.

Como vimos anteriormente, essa seção crítica é a seção mais ocupada pelo furo de diâmetro d , que é a menor seção transversal em toda a chapa:

Como para o equilíbrio interno da chapa, a força normal interna N deve ser igual a P e como nessa seção crítica, a área é de A = e * ( a - d ) , a equação anterior fica assim:

( P ) e * a - d σ a d m

Queremos descobrir o valor necessário para a dimensão a , então devemos isolar ela.

Passando a parte que está dividindo para o outro lado, temos:

P σ a d m e * a - d

Dividindo tudo por σ a d m e :

P σ a d m e a - d

Terminando de isolar a :

a P σ a d m e + d

Do enunciado, temos que P = 18   k N = 18000   N , e = 10   m m e d = 24   m m .

Além disso, encontramos que σ a d m = 69 , 4 -   M P a     = 69,4   N / m m 2 .

Substituindo esses valores, temos:

a 18000   N 69 , 4 -   N / m m 2 10   m m + ( 24   m m )

Calculando, isso dá:

a 25,9 2   m m + 24   m m

a 49,9 2   m m 49,9   m m

Encontrado o valor necessário para a dimensão a !

Passo 4

Para encontrar o valor necessário para a dimensão b , vamos partir para a próxima condição de projeto, referente a tensão cisalhante de aderência entre os materiais:

τ τ a d m

Usando a fórmula da tensão cisalhante média τ = V / A :

V A τ a d m

Como vimos, as superfícies onde essa aderência age são as laterais da chapa submersas no concreto:

Substituindo a força cortante V = P e a área de aderência A = 2 a * b + 2 ( e * b ) , nossa equação anterior fica assim:

P 2 a * b + 2 ( e * b ) τ a d m

Queremos encontrar o valor necessário para a dimensão b , então precisamos isolá-la.

Deixando 2 b em evidência:

P 2 b ( a + e ) τ a d m

Multiplicando os dois lados por b :

P 2 ( a + e ) b τ a d m

Espelhando a equação e dividindo os dois lados por τ a d m :

b P 2 ( a + e ) τ a d m

Do enunciado, temos que P = 18   k N = 18000   N e e = 10   m m .

Além disso, encontramos que τ a d m = 0,58 3 -   M P a = 0,58 3 -   N / m m 2 e que a = 49,9 2   m m .

Substituindo esses valores, temos:

b ( 18000   N ) 2 49,9 2   m m + 10   m m ( 0,58 3 -   N / m m 2 )

Calculando, isso dá:

b 25 7   m m

Ou seja, esse é o valor mínimo necessário para a dimensão b .

Resposta

(a) a = 49,9   m m ;

(b) b = 257   m m .

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