Exercícios Resolvidos de Tensão Admissível e Fator de Segurança

James M. Gere, Mecânica dos materiais, 5ª ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003, pp. 44-1.7-4.

Um tubo de alumínio servindo de braço na fuselagem de um pequeno avião (veja a figura) é dimensionado para resistir uma força de compressão. O diâmetro externo do tubo é d = 25   m m e a espessura da parede é t = 2,5   m m . A tensão de escoamento para o alumínio é σ y = 270   M P a e a tensão última é σ U = 310   M P a .

Calcule a força de compressão admissível P a d m se os fatores de segurança em relação à tensão de escoamento e à tensão última são 4 e 5 , respectivamente.

Dica do Expert: A “tensão de escoamento” e a “tensão última” se referem a dois tipos de falha diferentes (deformação irreversível e ruptura, respectivamente) causados por tensão normal.

Vai importar para o cálculo de P a d m o tipo de falha que tiver a menor tensão normal admissível σ a d m .

Passo 1

A figura do exercício nos confunde quando mostra a barra inclinada, mas isso não faz diferença! Se formos ler o enunciado, vemos que a única força nessa barra é a compressão.

Bom... O exercício quer saber qual é a força máxima de compressão P a d m que pode ser feita no tubo de forma a gerar uma tensão normal média σ que ainda satisfaz a condição:

σ ≤ σ a d m

Para resolver o exercício, precisamos encontrar σ (em função da força P a d m ) e σ a d m . Substituindo esses dois valores na expressão acima, vamos poder isolar P a d m e descobrir qual é seu valor máximo.

Para encontrar a tensão normal média σ , vamos usar sua fórmula:

σ = N A

Como o tubo está sob compressão por uma força P a d m , então a força normal interna N vai ser igual à P a d m .

A área A da seção transversal do tubo, por sua vez, vai ser um pouco mais difícil de calcular. Ela vai ser a diferença entre a área de dois círculos, um de diâmetro d e outro de diâmetro d - 2 t .

Do enunciado temos que d = 25   m m e t = 2,5   m m . Se chamarmos o diâmetro do círculo menor de d ' , podemos já deixa-lo calculado:

d ' = d - 2 t = 20   m m

Já para encontrar a tensão normal admissível σ a d m , vamos calculá-la para os dois tipos de falha usando a fórmula:

σ a d m = σ f a l h a F S

A tensão admissível σ a d m do projeto como um todo vai ser a menor tensão admissível entre os dois tipos de falha.

Isso porque se a gente garantir que a tensão σ não ultrapassa a menor tensão admissível, estamos garantindo também que ela não vai ultrapassar a maior tensão admissível.

Do enunciado, temos que:

  • Para a falha por escoamento (deformação irreversível), σ f a l h a y = 270   M P a e F S y = 4 ;
  • E para a falha por tensão última (ruptura), σ f a l h a U = 310   M P a e F S U = 5 .
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então vamos começar encontrando a tensão normal admissível σ a d m .

Para a falha por escoamento/deformação irreversível, temos:

σ a d m y = σ f a l h a y F S y

Substituindo os valores do enunciado:

σ a d m y = 270   M P a 4 = 67,5   M P a

E para a falha por tensão última/ruptura temos:

σ a d m U = σ f a l h a U F S U

Substituindo os valores do enunciado:

σ a d m U = 310   M P a 5 = 62   M P a

Como σ a d m U é menor, essa vai ser a nossa tensão normal admissível:

σ a d m = 62   M P a

Passo 3

Agora vamos encontrar a tensão normal média σ :

σ = N A

Como o tubo está só sob compressão por uma força de intensidade P a d m , então a força normal interna N é igual à P a d m .

Quanto à área A , ela é a diferença entre as áreas de dois círculos de diâmetro d e d ' :

A = π d 2 4 - π d ' 2 4

Tirando π / 4 em evidência:

A =   π 4 d 2 - d ' 2

Substituindo os valores encontrados na fórmula da tensão normal média:

σ = P a d m π 4 d 2 - d ' 2

Passo 4

Finalmente, aplicamos a condição de projeto:

σ ≤ σ a d m

Substituindo a expressão encontrada para σ no passo anterior:

P a d m π 4 d 2 - d ' 2 ≤ σ a d m

Isolando P a d m :

P a d m ≤ σ a d m * π 4 d 2 - d ' 2

Substituindo os valores σ a d m = 62   M P a , d = 25   m m e d ' = 20   m m :

P a d m ≤ 62   M P a π 4 25   m m 2 - 20   m m 2

Se calcularmos a expressão da direita e lembrarmos que M P a = N / m m 2 , isso dá:

P a d m ≤ 10956   N

Esse número é um pouco grande, então podemos reescrevê-lo em k N para a resposta:

Resposta

P a d m = 11,0   k N

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