Exercícios Resolvidos de Tensão Admissível e Fator de Segurança

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 42-1.102.

Determine a intensidade w da carga distribuída máxima que pode ser suportada pelo conjunto de pendural de modo a não ultrapassar uma tensão de cisalhamento admissível de τ a d m = 95   M P a nos parafusos de 10   m m de diâmetro em A e B e uma tensão de tração admissível de σ a d m = 155   M P a na haste A B de 12   m m de diâmetro.

Passo 1

O equilíbrio da viga, quando ela está submetida à força distribuída w , se dá através:

  • De uma força F A B transmitida pela haste A B ao longo de seu comprimento;
  • E das forças de reação vertical V C e horizontal H C no apoio em C .

Como mostra o diagrama de corpo livre da viga:

E a haste? O que acontece com ela?

Quando a haste transmite essa força F A B desde o apoio em B até a viga em A , ela acaba tendo que resistir a essa força de duas formas:

1. Os parafusos em A e B tem que transmitir a força F A B em condição de cisalhamento duplo:

Se lembrarmos de quando estudamos cisalhamento duplo, vamos nos lembrar que isso significa que a força cortante V nos parafusos é igual a metade da força F A B transmitida:

V = F A B 2

Essa força cortante V vai gerar uma tensão cisalhante média τ = V / A nos parafusos que não pode ultrapassar a tensão de cisalhamento admissível τ a d m = 95   M P a .

2. A haste é tracionada pela força F A B , o que gera nela uma força normal N = F A B , o que gera uma tensão normal média σ = N / A que não pode ultrapassar a tensão normal admissível σ a d m = 155   M P a .

Os diâmetros fornecidos d p a r a f = 10   m m e d h a s t e = 12   m m vão ser úteis para que a gente possa calcular as áreas A das seções transversais dos parafusos e da haste.

E o que é que o exercício quer?

Ele quer saber qual é o valor máximo da carga distribuída w tal que as condições:

τ ≤ τ a d m     &     σ ≤ σ a d m

ainda sejam satisfeitas.

A partir de um certo valor, a força F A B vai gerar tensões maiores que as tensões admissíveis.

O que nós vamos fazer é aplicar essas duas condições acima para encontrar qual é o valor máximo permitido de F A B .

A partir do valor máximo permitido de F A B , vamos aplicar as equações de equilíbrio na viga para encontrar qual é o valor de w correspondente.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar então calculando os valores máximos permitidos para F A B .

1. Para a tensão cisalhante média τ nos parafusos, temos:

τ ≤ τ a d m

Usando a fórmula da tensão cisalhante média τ = V / A isso fica:

V A ≤ τ a d m

A área A da seção transversal dos parafusos pode ser calculada em função do diâmetro d p a r a f usando a fórmula A = π d 2 / 4 .

Além disso, os parafusos estão sob cisalhamento duplo por uma força F A B . Isso significa que a força cortante V é igual à metade de F A B .

Usando tudo isso, a expressão anterior fica assim:

( F A B / 2 ) ( π d p a r a f 2 / 4 ) ≤ τ a d m

Isolando F A B :

F A B ≤ 2 τ a d m π d p a r a f 2 4

Substituindo τ a d m = 95   M P a e d p a r a f = 10   m m :

F A B ≤ 2 95   M P a π 10   m m 2 4

Como M P a = N / m m 2 , o resultado desse cálculo vai sair em N . Fazendo o cálculo, isso dá:

F A B ≤ 14923   N

2. E agora para a tensão normal média σ na haste:

σ ≤ σ a d m

Usando a fórmula da tensão normal média σ = N / A :

N A ≤ σ a d m

A haste está sob uma tração de intensidade F A B , então N = F A B . Além disso, podemos calcular a área A da seção transversal da haste a partir de seu diâmetro d h a s t e = 12   m m . Dessa forma, temos:

( F A B ) π d h a s t e 2 4 ≤ σ a d m

Isolando F A B :

F A B ≤ σ a d m π d h a s t e 2 4

Substituindo σ a d m = 155   M P a e d h a s t e = 12   m m :

F A B ≤ 155   M P a π 12   m m 2 4

Mais uma vez, M P a = N / m m 2 , o que significa que o nosso resultado sai em newtons ( N ):

F A B ≤ 17530   N

Comparando os dois valores máximos permitidos para F A B :

  • F A B = 14923   N para a falha dos parafusos por cisalhamento;
  • E F A B = 17530   N para a falha da haste por tensão normal.

vemos que o menor valor permitido é:

F A B = 14923   N

Passo 3

Agora que temos o valor máximo permitido para F A B , precisamos achar o valor correspondente de w .

Para fazer isso, vamos observar diagrama de corpo livre da viga:

Podemos usar as equações de equilíbrio para encontrar w em função de F A B .

A equação de equilíbrio que nos permite fazer isso mais facilmente vai ser o equilíbrio de momentos em relação ao ponto C :

∑ M C = 0

As únicas forças que geram momentos em relação a esse ponto são a força distribuída w e a força F A B .

Vamos fazer uma pausa para analisar esses momentos...

Se você souber calcular esses momentos, pode pular essa pausa. É só procurar pelo “Voltando para o equilíbrio de momentos...” um pouco abaixo! :)

Quanto a força F A B :

A força F A B vai gerar um momento no sentido anti-horário ( + ) e vai ter um braço de 1,2   m * 9 / 1 5 , como mostra a figura abaixo:

Quanto a força distribuída w :

Lembra aí!

Quando aprendemos forças distribuídas, vimos que a resultante de uma força distribuída uniforme age bem no meio da região onde a força distribuída está.

Além disso, a intensidade dessa resultante é igual a intensidade da força distribuída ( w , nesse caso) vezes o comprimento em que ela atua ( 1,2   m + 0,6   m = 1,8   m , nesse caso).

Dessa forma, o momento gerado por w vai ser igual a intensidade da resultante w * ( 1,8   m ) vezes o braço de 1,8   m / 2 = 0,9   m .

Além disso, o momento gerado por w vai estar no sentido horário ( - ).

Voltando para o equilíbrio de momentos...

Tendo tudo o que vimos em mente, o equilíbrio de momentos ∑ M C = 0 fica assim:

F A B * 1,2   m * 9 1 5 - w * 1,8   m * ( 0,9   m ) = 0

Isolando w :

w = F A B * 1,2   m * 9 1 5 1,8   m * 0,9   m

Calculando, isso dá:

w = 0 , 444 -   m - 1 * F A B

Passo 4

Agora podemos juntar a expressão que acabamos de achar:

w = 0 , 444 -   m - 1 * F A B

Com o valor máximo permitido para F A B , F A B = 14923   N :

w = 0 , 444 -   m - 1 * 14923   N

Arrumando as unidades, fica assim:

w = 0 , 444 - 14923   N / m

Calculando, isso dá:

w = 6632   N / m

Esse resultado é um pouco grande, então podemos reescrevê-lo em k N / m :

Resposta

w = 6,632   k N / m

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