Exercícios Resolvidos de Tensão Admissível e Fator de Segurança

Prova 1 - 2008.1 - Prof. Roberto - Resistência dos Materiais 1 - UFRJ

Um cordão flexível de comprimento total L S = 1,25 L , sendo L a distância horizontal entre os suportes, é amarrado nos suportes A e B situados em elevações diferentes. Uma carga P está pendurada em uma pequena roldana que rola ao longo do cordão, sem atrito, até chegar à posição de equilíbrio em C .

Sabendo que a carga de ruptura do cordão é F e se deseja um coeficiente de segurança n = 3 , calcular a carga admissível P a d m .

Passo 1

O que está acontecendo com a roldana?

Se a gente se lembrar de quando estudamos polias e roldanas lá em física, vamos nos lembrar que quando um cordão é tracionado, a força de tração T é igual em todos os pontos do cordão.

Isso significa que a força P no ponto C está sendo equilibrada por duas forças de tração T iguais:

A gente pode afirmar que os ângulos θ dessas duas forças são iguais, como está desenhado na figura, porque isso é necessário para que as componentes horizontais das duas forças T se cancelem.

E com o cordão?

Bom, o exercício disse que o cordão rompe quando a tração T nele atinge a carga de ruptura F .

Mas F não é a carga máxima permitida no cordão.

Na realidade, como se deseja um coeficiente/fator de segurança n = 3 , a carga máxima permitida no cordão, que vamos chamar de tração admissível T a d m , vai ser dada por:

T a d m = F 3

E o que é que o exercício quer?

O exercício quer saber a carga admissível P a d m , que vai ser a carga P na roldana que gera no cordão a tração T máxima permitida T a d m = F / 3 .

A gente consegue relacionar P a d m com T a d m usando o equilíbrio de forças, mas, para fazer isso, vamos precisar saber o valor de sen θ para podermos calcular o valor da componente vertical das trações.

Para encontrar esse s e n   θ , vamos ter que usar um pouco de geometria e as informações de que:

  • L é a distância entre os suportes;
  • E L S = 1,25   L é o comprimento total do cordão.
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar tentando descobrir o valor de s e n   θ , já que esse é provavelmente o maior desafio do exercício.

Bom... O ângulo θ que as forças de tração fazem com a horizontal é o próprio ângulo que o cordão faz com a horizontal.

Então podemos adicionar esses ângulos θ ao desenho do enunciado:

Agora, vamos chamar a distância entre A e C de “ a ”, a distância entre C e B de “ b ”, o comprimento do cordão entre A e C de “ a S ” e o comprimento do cordão entre C e B de “ b S ”:

Com isso, podemos perceber que:

L = a + b

Mas se também percebermos que a = a S * c o s   θ e que b = b S * c o s   θ , isso fica:

L = a S * c o s   θ + b S * c o s   θ = a S + b S * c o s   θ

Mas a S + b S é o próprio comprimento total L S do cordão:

L = L S * c o s   θ

E como o enunciado disse que L S = 1,25   L :

L = ( 1,25   L ) * c o s   θ

Isolando o cosseno, temos que:

c o s   θ = L 1,25   L = 1 1,25

Calculando, isso dá:

c o s   θ = 0,8

E, por fim, usando que s e n 2 θ + c o s 2 θ = 1 , encontramos que:

s e n   θ = 0,6

Passo 3

Com s e n   θ encontrado, agora podemos partir para relacionar a carga P com a tração T .

Mais especificamente, queremos relacionar a carga admissível P a d m (que é o que queremos encontrar) com a tração admissível T a d m (que vimos no primeiro passo que é igual a F / 3 ).

Para fazer isso, fazemos um diagrama de corpo livre do ponto C :

E, em seguida, aplicamos o equilíbrio de forças.

Como nos interessa encontrar P a d m , que está na vertical, fazemos o equilíbrio de forças na vertical:

F V = 0

Na vertical, temos P a d m apontando para baixo e as componentes verticais das duas trações T a d m , que são calculadas multiplicando T a d m pelo seno de θ , apontando para cima.

Então o nosso equilíbrio de forças fica assim:

T a d m * s e n   θ + T a d m * s e n   θ - P a d m = 0

Isolando P :

P a d m = 2 T a d m * s e n   θ

Substituindo T a d m = F / 3 e s e n   θ = 0 , 6 :

P a d m = 2 F 3 0 , 6

Calculando ( 2 * 0,6 ) / 3 , chegamos ao resultado:

Resposta

P a d m = 0 , 4   F

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