Exercícios Resolvidos de Tensão Admissível e Fator de Segurança

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 38,39-1.80.

O elemento B está sujeito a uma força de compressão de 4   k N . Se A e B forem feitos de madeira e tiverem 10   m m de espessura, determine, com aproximação de 5   m m , a menor dimensão h do apoio de modo que a tensão de cisalhamento média não exceda τ a d m = 2,1   M P a .

Passo 1

O que está acontecendo?

A componente vertical da força de 4   k N vai ser transmitida até o apoio em A , gerando uma força cortante V nesse apoio.

Para calcular essa força cortante V , vamos ter que calcular o valor da componente vertical da força de 4   k N e fazer uma análise de esforços internos na seção entre o apoio e o pedaço principal da peça A :

Essa força cortante V vai gerar uma tensão cisalhante média τ = V / A no apoio. A área A da seção resistente à essa tensão pode ser calculada usando a espessura e = 10   m m e a dimensão h do apoio.

E o que é que o exercício quer?

O exercício quer que a gente encontre a tensão cisalhante média τ em função da dimensão h do apoio, para que possamos aplicar a condição de projeto:

τ τ a d m = 2,1   M P a

Substituído o valor de τ nessa expressão, vamos poder isolar h e descobrir qual deve ser o seu valor mínimo, tendo em mente que o seu valor deve ser um múltiplo de 5   m m .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar então calculando o valor da componente vertical da força de 4   k N ...

Se observarmos o triângulo de dimensões na figura do exercício:

E observarmos o triângulo formado pela decomposição da força de 4   k N em uma componente horizontal x e uma componente vertical y :

Podemos fazer uma semelhança de triângulos para encontrar a componente vertical y .

4   k N está para a dimensão 13 assim como y está para a dimensão 5 :

Com isso, encontramos que:

4   k N 5 = ( y ) ( 13 )

O que significa que a componente vertical vai ser:

y = 5 13 ( 4   k N )

Com essa informação em mãos, agora podemos fazer a análise dos esforços internos no apoio:

Pelo equilíbrio de forças, temos que:

F = V - 5 13 4   k N = 0

O que significa que:

V = 5 13 4   k N

Passo 3

O próximo passo é encontrar a tensão cisalhante média τ :

τ = V A

A área A é a área da seção transversal do apoio onde avaliamos anteriormente os esforços internos:

Essa seção é retangular, de base e e altura h .

Isso significa que A = e * h , de tal forma que:

τ = V e * h

Passo 4

τ encontrado, agora podemos aplicar a condição de projeto:

τ τ a d m

Substituindo o valor de τ :

V e * h τ a d m

Como queremos encontrar o valor de h , devemos isolá-lo:

V e * τ a d m h

Espelhando a expressão (para que ela fique mais fácil de visualizar) e substituindo os valores de V , e e τ a d m :

h 5 13 4   k N 10   m m 2,1   M P a

Antes de calcular isso, vamos tomar cuidado com as unidades!

Como M P a = N / m m 2 , se reescrevermos a força de 4   k N como 4000   N , vamos estar trabalhando só com as unidades N e m m , o que vai facilitar nossa vida:

h 5 13 4000   N 10   m m 2,1   N / m m 2

Calculando a expressão da direita, isso dá:

h 73,3   m m

Como h deve ser dado em múltiplos de 5 , então temos que o valor mínimo de h de modo que a tensão cisalhante média não exceda τ a d m = 2,1   M P a é:

Resposta

h = 75   m m

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