Exercícios Resolvidos de Tensão Admissível e Fator de Segurança

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 39-1.82.

As hastes A B e C D são feitas de aço cuja tensão de ruptura por tração é σ r u p = 510   M P a . Usando um fator de segurança F S = 1,75 para tração, determine o menor diâmetro das hastes de modo que elas possam suportar a carga mostrada. Considere que a viga está acoplada por pinos em A e C .

Passo 1

O que está acontecendo?

As hastes A B e C D estão suportando a viga A C , garantindo o seu equilíbrio.

Para saber a intensidade das forças de tração feitas pela viga nas hastes, F A B e F C D , precisamos fazer um diagrama de corpo livre da viga (como o da figura abaixo) e aplicar as equações de equilíbrio nela.

Essas forças de tração F A B e F C B vão gerar forças internas normais N A B = F A B e N C B = F C B nas hastes.

As forças normais, por sua vez, vão gerar uma tensão normal média σ = N / A em cada haste.

E o que é que o exercício quer?

O exercício quer saber quais são os diâmetros mínimos das hastes para que as trações F A B e F C D não gerem tensões normais médias σ nelas acima da tensão normal admissível σ a d m :

σ σ a d m

Como sempre, a tensão admissível σ a d m é calculada dividindo a tensão de falha (nesse caso, a tensão de ruptura σ r u p = 510   M P a ) pelo fator de segurança F S = 1,75 .

Podemos definir σ e aplicar a condição σ σ a d m para as duas hastes de forma genérica. Ao final, devemos isolar o diâmetro d e calcular o seu valor duas vezes, uma vez para cada haste.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar pelo diagrama de corpo livre da viga:

Para encontrar F A B e F C D , precisamos usar as equações de equilíbrio.

Vamos pensar... Nesse caso, temos duas equações de equilíbrio que podemos utilizar: o equilíbrio de momentos e o equilíbrio de forças na vertical.

Começando pelo equilíbrio de momentos... Se fizermos ele em relação ao ponto A , ele fica assim:

M A = 0

A força F C D tem um braço de 10   m e gera um momento no sentido anti-horário, que vamos considerar como positivo.

Já as forças de 4   k N , 6   k N e 5   k N tem braços de 2   m , 4   m e 7   m , respectivamente, e geram momentos no sentido horário, ou seja, momentos negativos.

Então o nosso somatório de momentos fica assim:

F C D 10   m - 4   k N 2   m - 6   k N 4   m - 5   k N 7   m = 0

Somando todos os momentos negativos:

F C D 10   m - 67   k N * m = 0

Isolando F C D :

F C D = 67   k N * m 10   m = 6,7   k N

Seguindo com o equilíbrio de forças na vertical:

F V = 0

As forças F A B e F C D apontam para cima, enquanto as demais apontam para baixo, então:

F A B - 4   k N - 6   k N - 5   k N + F C D = 0

Somando as forças negativas:

F A B - 15   k N + F C D = 0

Isolando F A B e substituindo F C D = 6,7   k N :

F A B = 15   k N - 6,7   k N = 8,3   k N

Passo 3

Com as forças de tração determinadas, podemos prosseguir e definir as tensões normais médias σ nas hastes A B e C D :

σ = N A  

As forças normais internas N nas hastes são iguais às suas respectivas forças de tração F .

Já as áreas A das seções transversais das hastes devem ser calculadas a partir da área do círculo em função de seu diâmetro d : A = π d 2 / 4 .

Dessa forma, temos que para as duas hastes a tensão normal média é definida por:

σ = F π d 2 4 = 4 F π d 2  

Passo 4

Aplicando a condição de projeto:

σ σ a d m

Podemos substituir σ pela expressão encontrada no último passo e sabemos que σ a d m = σ r u p / F S . Dessa forma, temos que:

4 F π d 2 σ r u p F S

Como queremos encontrar d , devemos isolá-lo:

4 F * F S π * σ r u p d 2

Espelhando essa equação (para deixar ela mais fácil de visualizar) e fazendo a raiz quadrada dos dois lados:

d 4 F * F S π * σ r u p

Agora, o próximo passo é calcular o diâmetro d duas vezes. Quando usarmos a força F A B , vamos encontrar o diâmetro d A B , e, quando usarmos F C D , vamos encontrar d C D .

Passo 5

Para a haste A B :

d A B 4 F A B * F S π * σ r u p

Substituindo os valores F A B = 8,3   k N , F S = 1,75 e σ r u p = 510   M P a :

d A B 4 8,3   k N 1,75 π 510   M P a

Como M P a = N / m m 2 , podemos reescrever a força de 8,3   k N como 8300   N para que o resultado final do diâmetro saia diretamente em m m :

d A B 4 8300   N 1,75 π 510   M P a

Calculando a expressão da direita, isso dá:

d A B 6,02   m m

Para a haste C D :

d C D 4 F C D * F S π * σ r u p

Ao substituir os valores de F C D , F S e σ r u p , podemos dessa vez já substituir F C D direto em newtons ( F C D = 6700   N ):

d C D 4 6700   N 1,75 π 510   M P a

Calculando a expressão da direita:

d C D 5,41   m m

Resposta

d A B = 6,02   m m     &     d C D = 5,41   m m

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