Exercícios Resolvidos de Tensão Admissível e Fator de Segurança

Ferdinand P. Beer et al., Mecânica dos materiais, 5ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011, pp. 54-1.40.

O vínculo horizontal B C tem 6,4   m m de espessura, uma largura w = 31,8   m m e é feito de um aço que tem um limite de resistência à tração de 450   M P a . Qual é o coeficiente de segurança, se a estrutura mostrada for projetada para suportar uma carga P = 45   k N ?

Passo 1

O que está acontencdo?

A força P gera um momento na peça A C D que tenta fazer a peça girar em volta do ponto D .

Esse momento é equilibrado por um momento oposto gerado pela força F B C que o vínculo B C faz na peça A C D :

Como reação à essa força, a peça A C D faz no vínculo uma força oposta de mesma intensidade F B C .

O apoio em B equilibra essa força, e o vínculo fica, no final das contas, sob uma tração de intensidade F B C :

Essa tração gera no vínculo uma força interna normal N = F B C que, por sua vez, gera nele uma tensão normal média σ = N / A .

O que precisamos fazer?

O exercício quer saber qual é o coeficiente/fator de segurança F S no vínculo.

O fator de segurança é a razão entre a tensão de falha σ f a l h a e a tensão normal média σ , ou seja:

F S = σ f a l h a σ

A tensão de falha σ f a l h a nesse caso corresponde ao limite de resistência a tração de 450   M P a .

Então para encontrar F S , falta encontrar a tensão normal média σ = N / A .

Para tanto, podemos:

  • Fazer um diagrama de corpo livre e aplicar as equações de equilíbrio na peça A C D para encontrar a força normal N = F B C em função da força P = 45   k N ;
  • E encontrar a área A da seção transversal do vínculo multiplicando a sua espessura e = 6,4   m m pela sua largura w = 31,8   m m .
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Começando pelo diagrama de corpo livre de A C D :

Diagrama de corpo livre feito, agora queremos usar as equações de equilíbrio para relacionar a força F B C , desconhecida, com a força P , conhecida.

A única equação de equilíbrio que vai nos permitir fazer isso sem ter que calcular as forças V D e H D vai ser o equilíbrio de momentos em relação ao ponto D :

M D = 0

Agora vamos pensar...

A força F B C vai gerar um momento no sentido anti-horário, que vamos considerar como positivo ( + ).

Sendo assim, o momento no sentido horário causado pela força P vai ficar negativo ( - ).

O braço de F B C vai ser calculado multiplicando a distância de 300   m m por cos 30 ° , enquanto que o braço de P vai ser calculado multiplicando a distância de 300   m m + 150   m m = 450   m m por sen 30 ° :

Com tudo isso em mente, o nosso equilíbrio de momentos em relação ao ponto D fica assim:

F B C 300   m m c o s   30 ° - P 450   m m s e n   30 ° = 0

Isolando F B C :

F B C = P 450   m m s e n   30 ° 300   m m c o s   30 °

Ok, vamos calcular isso daí...

450   m m dividido por 300   m m 3 / 2 .

s e n   30 ° = 1 / 2 dividido por c o s   30 ° = 3 / 2 dá:

t g   30 ° = s e n   30 ° c o s   30 ° = ( 1 / 2 ) ( 3 / 2 ) = 1 3 = 3 3

Então F B C fica assim:

F B C = P * 3 2 * 3 3

Simplificando:

F B C = 3 2 P

Pronto, encontramos F B C em função de P !

Isso significa que também encontramos a força normal N no vínculo em função de P , já que N = F B C :

N = F B C = 3 2 P

Passo 3

Com a força normal N no vínculo encontrada, podemos agora calcular a tensão normal média σ :

σ = N A

A área A da seção transversal do vínculo é calculada multiplicando a sua espessura e pela sua largura w . E para a força normal N podemos usar a expressão encontrada no passo anterior.

Sendo assim, temos:

σ = 3 2 P ( e * w ) = 3   P 2 e w

Passo 4

Finalmente, podemos fazer o cálculo do fator de segurança F S :

F S = σ f a l h a σ

Substituindo a expressão encontrada para a tensão normal média σ no último passo:

F S = σ f a l h a 3   P 2 e w

Passando o “ 2 e w ” para cima:

F S = 2 e w σ f a l h a 3   P

Substituindo os valores e = 6,4   m m , w = 31,8   m m , σ f a l h a = 450   M P a e P = 45   k N :

F S = 2 6,4   m m 31,8   m m 450   M P a 3   45   k N

Agora, calma...

Temos que prestar atenção nas unidades!

Vamos juntar elas em um canto só:

F S = 2 6,4 31,8 450 3   45   m m * m m * M P a k N

O fator de segurança não tem unidade, então queremos que todas as unidades nessa equação se cortem.

Se reescrevermos M P a como N / m m 2 e reescrevermos a força de 45   k N como 45000   N , vamos poder cortar todas as unidades:

F S = 2 6,4 31,8 450 3   45 000   m m * m m * N / m m 2 N

Cortando as unidades, sobra só os números:

F S = 2 6,4 31,8 450 3   45000

Calculando, isso dá:

Resposta

F S = 2,35

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