Exercícios Resolvidos de Teorema de Laplace

UFPE, Álgebra Linear, 1º EE - 2019.1, Questão Q1

Considere a matriz Equation .

a) Calcule Equation .

b) A matriz Equation é inversível? Se sim, encontre a sua inversa.

Passo 1

a) Nesse exercício a gente quer calcular o determinante de uma matriz Equation . Lembra que nesse caso a gente utiliza o método de Laplace? Então vamo lá!

Podemos fazer a expansão de Laplace pela segunda linha, isso vai nos dar o seguinte:

Equation

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Opa, olha só, a matriz Equation possui duas linhas iguais, então, como a gente viu lá na teoria, o determinante dela vai ser 0 :D

Então agora só falta calcular o determinante da segunda matriz utilizando o método de Sarrus:

Equation

Passo 3

Agora vamos substituir tudo naquela expressão do passo 1

Equation

Equation

Passo 4

b) A gente sabe que a condição pra uma matriz ser inversível é que o determinante dela não seja 0 certo? O que é o caso da nossa matriz Equation :P Então ela é inversível simm!!

Vamo calcular a inversa dela usando o método de Gauss-Jordan:

Equation

Fazendo Equation teremos:

Equation

Agora vamos fazer Equation

Equation

Estamos chegando lá. Agora vamos fazer Equation

Equation

Agora, Equation

Equation

E finalmente, Equation

Equation

Então a gente tem que

Equation

Resposta

a) Equation

b) Sim, é inversível.

Equation

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