Exercícios Resolvidos de Teorema de Laplace

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Enunciado

O determinante da matriz 1 1 0 1 1 3 2 2 0 0 - 2 0 2 4 2 6 é:

a - 11

b - 12

c - 19

d - 20

Passo 1

Aqui você pode fazer várias coisas: escalonar, trocar linhas até virar uma matriz que possa ser divisível em blocos... mas o mais imediato é usar o Teorema de Laplace, porque a linha 3 é cheia de zeros! É isso que vou fazer aqui

Aí o determinante da matriz vai ser - 2 vezes o seu cofator.

1 1 0 1 1 3 2 2 0 0 - 2 0 2 4 2 6 = - 2 Δ 33 = - 2 × - 1 3 + 3 1 1 1 1 3 2 2 4 6 = - 2 1 1 1 1 3 2 2 4 6

Passo 2

Vou resolver esse determinante agora usando a Regra de Sarrus:

1 1 1 1 3 2 2 4 6 1 1 1 2 2 4 = 18 + 4 + 4 - 6 - 8 - 6 = 6

O determinante que ele pede é - 2 × 1 1 1 1 3 2 2 4 6 = - 2 × 6 = - 12 .

Resposta

Letra ( b )

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Calcule os cofatores de cada um dos termos da matriz A = 1 2 1 0 1 2 2 3 1
Calcular o cofator do elemento x da matriz A = 0 1 0 3 1 2 1 1 2 1 0 0 3 x 2 1
Desenvolva pela primeira coluna det ⁡ A = ∑ i = 1 3 a i 1 A i 1 e depois calcule o determinante da matriz 3 4 0 1 1 0 2 0 2
Repetir o exercício 3 com a matriz 2 1 3 0 1 2 1 0 0 0 2 1 3 1 1 4
Sejam A , B e C matrizes de ordem 2 e seja X = A C 0 B De ordem 4. Provar que det ⁡ X = det ⁡ A det ⁡ B . Este resultado vale para A , B , C ∈ M n R .