Exercícios Resolvidos de Teste da Derivada Segunda Inconclusivo

USP, Cálculo 2, P3 - 2015, Questão 3

Determine os pontos críticos da função f x , y = x 4 + y 4 - 2 x 2 + 4 x y - 2 y 2 e classifique-os, justificando, quanto a máximo local, mínimo local ou sela.

Passo 1

Vamos achar os pontos críticos da f . Começamos calculando as suas derivadas parciais:

f x x , y = 4 x 3 - 4 x + 4 y

f y x , y = 4 y 3 + 4 x - 4 y

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Igualamos elas a zero:

4 x 3 - 4 x + 4 y = 0 4 y 3 + 4 x - 4 y = 0

Somando as duas equações:

4 x 3 - 4 x + 4 y + 4 y 3 + 4 x - 4 y = 0

4 x 3 + 4 y 3 = 0

4 x 3 = - 4 y 3

x 3 = - y 3

x = - y

Passo 3

Substituindo na primeira equação:

- 4 y 3 + 4 y + 4 y = 0

8 y - 4 y 3 = 0

2 y = y 3

y = 0     o u     y 2 = 2 y = ± 2

  • se y = 0 , então x = 0 .
  • se y = ± 2 , então x = 2 .

Logo, os pontos críticos da f são 0 ,   0 ,   2 ,   - 2 e - 2 ,   2 .

Passo 4

Agora temos que partir pras derivadas de ordem superior. Lembrando que

f x x , y = 4 x 3 - 4 x + 4 y f y x , y = 4 y 3 + 4 x - 4 y

Logo,

f x x x , y = 12 x 2 - 4

f y y x , y = 12 y 2 - 4

f x y x , y = f y x x , y = 4

Passo 5

Agora podemos partir pro teste da derivada segunda.

O determinante hessiano é dado por

H x , y = 12 x 2 - 4 4 4 12 y 2 - 4

H x , y = 12 x 2 - 4 12 y 2 - 4 - 4.4

H x , y = 12 x 2 - 4 12 y 2 - 4 - 16

Passo 6

Vamos testar os pontos críticos, começando pelo ponto 0 ,   0 :

H 0 ,   0 = - 4 . - 4 - 16 = 16 - 16 = 0

Opa, logo de cara caímos no caso onde o teste da derivada segunda falha!

Pra começo de conversa, vamos calcular o valor de f em 0 ,   0 :

f 0 ,   0 = 0 + 0 - 0 + 0 - 0 = 0

Passo 7

Ok, agora vamos dar uma olhada no sinal dessa função. Se descobrirmos, por exemplo, que f x , y 0 , então 0 ,   0 seria um ponto de mínimo.

f x , y = x 4 + y 4 - 2 x 2 + 4 x y - 2 y 2

É, mas no caso não dá pra dizer nada do sinal dessa função... ela pode assumir tanto valores negativos quanto positivos.

Passo 8

Agora nos resta tentar uma aproximação do ponto crítico por vários caminhos.

Vamos começar fazendo x = 0 por exemplo. Assim estamos nos aproximando pelo eixo y :

f 0 ,   y = f y = y 4 - 2 y 2

Podemos conferir que 0 ,   0 é um ponto crítico dessa f que só depende de y :

f ' y = 4 y 3 - 4 y

f ' 0 = 0

Passo 9

Agora vamos ver se por essa aproximação a origem é um ponto de máximo, de mínimo ou de inflexão. Pra isso temos que ver que valores a função assume nas proximidades de 0 ,   0 .

Repare que

f y = y 2 y 2 - 2

Ou seja,

f y = 0 y = 0   o u   y 2 - 2 = 0

y = 0   o u   y = ± 2

Passo 10

Beleza, então a função vale zero em y = - 2 ,   y = 0 e y = 2 . Mas e entre esses valores, o que acontece? Ela é positiva, negativa? Bem, vamos ver!

Podemos testar y = ± 1 por exemplo, já que - 2 < - 1 < 0 e 0 < 1 < 2 :

f - 1 = - 1 f 1 = - 1

Opa! Isso significa que f é negativa nas proximidades de zero f 0 ,   y 0 para todo y - 2 ,   2 .

Portanto, pelo caminho x = 0 o ponto 0 ,   0 é um ponto de máximo local.

Passo 11

Agora a gente poderia tentar o caminho y = 0 . O problema é que aí caímos numa função idêntica à que vimos antes:

f x ,   0 = f x = x 4 - 2 x 2

Mudou apenas a variável, antes era y e agora é x .

Então podemos testar por exemplo a aproximação pela reta y = x :

f x ,   x = x 4 + x 4 - 2 x 2 + 4 x 2 - 2 x 2

f x ,   x = 2 x 4

E isso é ótimo, porque 2 x 4 0 . Ou seja, nessa aproximação f 0 ,   0 = 0 é um ponto de mínimo.

Concluindo: por um caminho o ponto é um máximo, por outro ele é um mínimo, então ele não é nenhum dos dois, ele é um ponto de sela.

Passo 12

Esse primeiro ponto crítico já deu um trabalhão mas ainda temos outros dois!

Lembrando que:

H x , y = 12 x 2 - 4 12 y 2 - 4 - 16

Então pro ponto 2 , - 2 :

H 2 , - 2 = 12.2 - 4 12.2 - 4 - 16

H 2 , - 2 = 20 2 - 16 = 384 > 0

E temos

f x x 2 , - 2 = 12.2 - 4 = 20 > 0 ,

logo o ponto 2 , - 2 é um ponto de mínimo local.

Passo 13

Agora vamos pro último ponto crítico! Repare que as contas vão ser idênticas:

H - 2 , 2 = 12.2 - 4 12.2 - 4 - 16

H - 2 , 2 = 384 > 0

E também temos

f x x - 2 , 2 = 12.2 - 4 = 20 > 0

Então o ponto - 2 ,   2 também é um ponto de mínimo local de f .

Resposta

f tem 3 pontos críticos: o ponto de sela 0 ,   0 e os pontos de mínimo local 2 , - 2 e - 2 ,   2 .

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas