Exercícios Resolvidos de Teste da Derivada Segunda Inconclusivo

UNICAMP, Cálculo 2, P1 2011.1, 4a

  1. Sejam f x , y = 3 x 4 + 2 y 4 e g x , y = x 5 - 2 y 5 , mostre que tais funções tem 0,0 como único ponto crítico e classifique-o para cada função.

Passo 1

  1. Vamos começar calculando o gradiente. Temos:

∇ f x , y = 12 x 3 ,   8 y 3

∇ g x , y = 5 x 4 , - 10 y 4

Igulando as coordenadas a 0,0 , temos:

12 x 3 ,   8 y 3 = 0,0

→ x = 0 , y = 0

Ainda temos:

5 x 4 , - 10 y 4 = 0,0

→ x = 0 , y = 0

Portanto, em ambos os casos o único ponto crítico é 0,0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Temos de classificar 0,0 em cada um dos casos. Em ambos os casos det ⁡ H 0,0 = 0 . Logo, o teste da segunda derivada é inconclusivo . Devemos buscar outras alternativas.

Começando por f x , y = 3 x 4 + 2 y 4 , repare que f x , y ≥ 0 . Logo, f 0,0 = 0 é ponto de mínimo absoluto.

Para g x , y , estamos interessados no ponto ( 0,0 ) , e esse ponto faz parte do plano y = 0 , certo? No plano y = 0   temos

g x , y = g x = x 5

x = 0 não é de máximo nem de mínimo.

E se olharmos no plano x = 0 temos

g x , y = g y = - 2 y 5

y = 0 não é ponto de máximo nem de mínimo.Logo, 0,0 não é ponto nem de máximo nem de mínimo para a função g x , y

Resposta

  1. 0,0 é mínimo global de f x , y , porém não é máximo nem mínimo de g x , y

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