Exercícios Resolvidos de Teste da Derivada Segunda Inconclusivo

George B. Thomas, Cálculo Volume II, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, p.358 (modificado)

O discriminante f x x f y y - f x y 2 é zero na origem pra cada uma das funções a seguir, de modo que o teste da derivada segunda falha. Determine se a função tem um máximo, um mínimo ou nenhum dos dois na origem, imaginando como é a superfície z = f x , y . Descreva seu raciocínio em cada caso.

a) f x , y = x 2 y 2

b) f x , y = x 3 y 3

Passo 1

a)

Essa é tranquila! Temos que

f 0 ,   0 = 0

E podemos perceber que

f x , y = x 2 y 2 = x y 2 0

Ou seja, 0 é o valor mínimo que a função pode assumir. Portanto, a origem é um ponto de mínimo, inclusive de mínimo global.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b)

Agora complicou um pouco! Dessa vez temos

f x , y = x 3 y 3 = x y 3

Não podemos afirmar nada do sinal da função tão facilmente quanto fizemos pra função anterior.

Passo 3

Agora vamos ter que dividir nosso estudo da função em vários casos.

A ideia vai ser tentar mostrar que num deles a origem seria um ponto de máximo, e em outro ela seria um ponto de mínimo. Se isso acontecer, poderemos concluir que ela não é nem um nem outro.

Comecemos pelo caso mais simples, em que consideramos x 0 e y 0 . Pense que a gente está se aproximando da origem pelo 1º quadrante.

Assim temos x 3 0 e y 3 0 . Agora ficou bem parecido com a letra (a) né?

f x , y = x 3 y 3 0

Então nesse caso a origem seria um ponto de mínimo.

Passo 4

Agora vamos tentar achar uma abordagem da função pra qual a origem seria um ponto de máximo, beleza? O macete é a gente pensar ao contrário! Queremos:

f x , y 0

x 3 y 3 0

Portanto, x 3 e y 3 devem ter sinais opostos, por exemplo x 3 0 e y 3 0 . Assim, x 0 e y 0 . Então agora estamos nos aproximando da origem pelo 2º quadrante. E verificamos que nesse caso temos f x , y 0 .

Então nesse caso a origem seria um ponto de máximo. Sendo que vimos um outro caso em que ela seria um ponto de mínimo.

Portanto, podemos concluir que ela não é nem máximo e nem mínimo!

Passo 5

Um passinho bônus só pra mostrar o mapa de contorno da função:

Repare como o 1º e o 3º quadrantes têm uma cor mais clara do que o 2º e o 4º, perto da origem, e como a mudança de cor é brusca.

Resposta

a) mínimo

b) nem máximo nem mínimo

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