Exercícios Resolvidos de Teste da Derivada Segunda Inconclusivo

Cálculo 2 UFRJ, P2 2010.2, questão 2 (modificada)

Seja f x , y = a x 2 + 3 x y + y 2 , onde a ≠ 9 / 4 .

  1. Determine o ponto crítico de f
  2. Determine, se possível, os valores de a , de modo que o ponto crítico seja:
    1. Ponto de máximo local
    2. Ponto de mínimo local
    3. Ponto de sela
  3. Se a = 9 / 4 , o que se pode dizer sobre o ponto crítico de f encontrado em 1.?

Passo 1

Calcular gradiente:

∇ f x , y = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

⇒ ∇ f x , y = 2 a x + 3 y ,   3 x + 2 y

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Encontrar pontos críticos:

∇ f = 0 →

⇒ 2 a x + 3 y ,   3 x + 2 y = 0,0

Passo 3

Igualando as coordenadas:

2 a x + 3 y = 0   3 x + 2 y = 0

Pela segunda equação:

3 x + 2 y = 0

⇒ y = - 3 2 x

Substituindo na primeira equação:

2 a x + 3 y = 0

⇒ 2 a x + 3 - 3 2 x = 0

⇒ 2 a x - 9 2 x = 0

⇒ 2 a - 9 2 x = 0

Então temos duas possibilidades:

2 a - 9 2 = 0 ou x = 0

Primeira possibilidade:

2 a - 9 2 = 0

⇒ a = 9 4

Mas como o enunciado diz que a ≠ 9 4 então essa solução não vale.

Logo:

x = 0

Pela segunda equação novamente:

y = - 3 2 x

⇒ y = 0

Então o único ponto crítico é 0,0 .

Passo 4

Vamos analisar que tipo de ponto crítico é este:

P 0 = 0,0

Calculando derivadas segundas:

f x x = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x = ∂ ∂ x 2 a x + 3 y = 2 a

f y y = ∂ ∂ y ∂ f ∂ y = ∂ ∂ y 3 x + 2 y = 2

f x y = ∂ ∂ x ∂ f ∂ y = ∂ ∂ x 3 x + 2 y = 3

Passo 5

Calculando essas derivadas no ponto P 0 = 0,0 :

f x x P 0 = 2 a

f y y P 0 = 2

f x y P 0 = 3

Passo 6

Calculando H P 0 :

H P 0 = f x x P 0 f x y P 0 f y x P 0 f y y P 0

⇒ H P 0 = 2 a 3 3 2

⇒ H P 0 = 2 a 2 - 3 3

⇒ H P 0 = 4 a - 9

Passo 7

Para que P 0 seja ponto de máximo, tem que satisfazer duas condições:

H P 0 > 0   f x x P 0 < 0

Substituindo H P 0 e f x x P 0 :

4 a - 9 > 0   2 a < 0

Logo:

a > 9 4   a < 0

Então não existe nenhuma valor de a que satisfaça essas duas desigualdades simultaneamente.

Logo, não existe valor de a para que P 0 seja ponto de máximo local.

Passo 8

Para que P 0 seja ponto de mínimo, tem que satisfazer duas condições:

H P 0 > 0   f x x P 0 > 0

Substituindo H P 0 e f x x P 0 :

4 a - 9 > 0   2 a > 0

Logo:

a > 9 4   a > 0

Ou seja:

a > 9 4

Logo, a > 9 4 para que P 0 seja ponto de mínimo local.

Passo 9

Para que P 0 seja ponto de sela, tem que satisfazer:

H P 0 < 0

⇒ 4 a - 9 < 0

⇒ a < 9 4

Logo, a < 9 4 para que P 0 seja ponto de sela.

Passo 10

Se a = 9 4 :

H P 0 = 4 a - 9

⇒ H P 0 = 4 9 4 - 9

⇒ H P 0 = 0

Opa! Como H P 0 = 0 , então o teste da derivada segunda falhou!

Passo 11

Neste caso, temos que parar pra olhar a função:

f x , y = a x 2 + 3 x y + y 2

⇒ f x , y = 9 4 x 2 + 3 x y + y 2

Isso não te lembra um produto notável? Tá com mó pinta de

a 2 + 2 a b + b 2 = a + b 2

Então vamos igualar a função a esse produto notável!

Passo 12

Igualando o primeiro e último termos:

a 2 = 9 4 x 2 ⇒ a = 3 2 x

b 2 = y 2 ⇒ b = y

Pelo segundo termo:

2 a b = 2 3 2 x y = 3 x y

Logo:

9 4 x 2 + 3 x y + y 2 = 3 2 x + y 2

Então

f x , y = 3 2 x + y 2 ≥ 0

Passo 13

Substituindo P 0 = 0,0 :

f P 0 = 3 2 0 + 0 2 = 0

Como f x , y ≥ 0 , então f P 0 = 0 corresponde a um ponto de mínimo (global inclusive).

Resposta

Ponto crítico: 0,0

Ponto crítico é máximo local: não existe para nenhum valor de a

Ponto crítico é mínimo local: a > 9 / 4

Ponto crítico é ponto de sela: a < 9 / 4

Se a = 9 / 4 , o ponto crítico é um ponto de mínimo.

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