Exercícios Resolvidos de Teste da Derivada Segunda Inconclusivo

Cálculo 2 UFRJ, PF 2015.1, questão 1

Seja f x , y = x 4 - y 4 . Então ( 0,0 ) :

(a) nenhuma das outras alternativas

(b) é ponto crítico e ponto de sela.

(c) é ponto crítico e ponto de mínimo local.

(d) é ponto crítico e ponto de máximo local.

(e) não é ponto crítico.

Passo 1

Vamos começar testando se ( 0,0 ) é um ponto crítico, que tal?

f x , y = x 4 - y 4

    f x x , y = 4 x 3   f x 0,0 = 0  

  f y x , y = - 4 y 3     f y 0,0 = 0

As derivadas parciais em ( 0,0 ) dão zero, então ( 0,0 ) é um ponto crítico! Já dá até pra eliminar a alternativa (e).

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Passo 2

Vamos tentar classificar o ponto com o teste da derivada segunda. Então vamos calcular as derivadas de segunda ordem!

f x x x , y = 4.3 . x 2 = 12 x 2

f y y x , y = - 4.3 . y 2 = - 12 y 2

f x y x , y = f y x x , y = 0

Passo 3

Vamos ao teste da derivada segunda: no ponto ( 0,0 ) temos

f x x 0,0 = 12.0 = 0

f y y 0,0 = - 12.0 = 0

f x y 0,0 = f y x 0,0 = 0

Vish, já dá pra ver que tem algo estranho. O determinante vai ser

H 0,0 = 0 0 0 0 = 0

Pois é, o determinante deu 0 , que é justamente o caso que a gente não sabe classificar o ponto crítico!

Passo 4

Essa é hora que você tem que parar pra analisar a função friamente:

f x , y = x 4 - y 4

Vamos tentar visualizar a superfície que é o gráfico dessa função.

Estamos interessados no ponto ( 0,0 ) , e esse ponto faz parte do plano y = 0 , certo? No plano y = 0   temos

f x , y = f x = x 4

e isso a gente sabe que é uma parábola voltada pra cima. Então nesse plano o ponto ( 0,0 ) é um ponto de mínimo:

E se olharmos no plano x = 0 temos

f x , y = f y = - y 4

que é uma parábola voltada pra baixo, então esse plano o ponto ( 0,0 ) é um ponto de máximo!

Então não tem como o ponto ( 0,0 ) ser um ponto de máximo ou mínimo da função, ele é um ponto de sela!

Observação: Essa função parece muito com a equação do paraboloide hiperbólico, vulga “sela”:

z = x 2 a 2 - y 2 b 2

Olha como é que é o gráfico da função:

Resposta

Alternativa (b)

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