Exercícios Resolvidos de Teste da Derivada Segunda Inconclusivo

Cálculo 2 UFRJ, P2 2015.1, questão 8

Seja f x , y = x 4 + y 10 . Então ( 0,0 ) :

(a) é ponto crítico e ponto de sela;

(b) é ponto crítico e ponto de mínimo local;

(c) não é ponto crítico

(d) é ponto crítico e ponto de máximo local;

(e) nenhuma das anteriores;

Passo 1

Vamos começar determinando se o ponto ( 0,0 ) é um ponto crítico:

f x x , y = 4 x 3   f x 0,0 = 0

f y x , y = 10 y 9   f y 0,0 = 0

Então o ponto ( 0,0 ) é um ponto crítico, já podemos eliminar a alternativa (c).

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos calcular as derivadas segundas:

f x x x , y = 12 x 2 f x x 0,0 = 0

f y y x , y = 90 y 8 f y y 0,0 = 0

f x y x , y = f y x x , y = 0   f x y 0,0 = f y x 0,0 = 0

Pronto! Agora podemos aplicar o teste da derivada segunda:

H 0,0 = f x x 0,0 f x y 0,0 f y x 0,0 f y y 0,0 = 0 0 0 0 = 0

Vish! Deu zero! Então vamos parar pra olhar a função com calma.

Passo 3

Temos a soma de x e y , ambos elevados a potências pares. E a gente sabe que

x n 0     ;   n   p a r

Também podemos dizer x 4 + y 10 = x 2 2 + ( y 5 ) ² , logo x 4 0 e y 10 0 .

De qualquer forma, chegamos à conclusão que o ponto ( 0,0 ) é ponto de mínimo global de f . Mas como todo ponto de mínimo global é também ponto de mínimo local (o contrário é falso), a alternativa (b) é a certa.

Resposta

Alternativa (b)

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