Exercícios Resolvidos de Teste da Derivada Segunda Inconclusivo

UFRJ, Cálculo 2, P2 - 2014.1, Questão ME4

Seja

f x , y = x 4 - y 4

O ponto 0,0

  1. É ponto de sela
  2. É ponto de mínimo local
  3. É ponto de máximo local
  4. Não é ponto critico
  5. Nenhuma das outras alternativas

Passo 1

Devemos primeiro ver se esse ponto é um ponto crítico

f x = 4 x 3 = 0

f y = - 4 y 3 = 0

Como as duas derivadas é zero ele é um ponto crítico.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora devemos calcular o determinante de

H 0,0 = f x x 0,0 f x y 0,0 f y x 0,0 f y y 0,0

Vamos primeiro achar as derivadas segundas

f x x = x f x = x 4 x 3 = 12 x 2

f y y = y f y = y - 4 y 3 = - 12 y 2

f x y = x f y = x - 4 y 3 = 0

Passo 3

Substituindo os valores do ponto vamos encontrar

f x x = 0

f y y = 0

f x y = 0

H 0,0 = 0 0 0 0 = 0

Aqui o teste da segunda derivada é inconclusivo!! E agora o que fazer?

Passo 4

Se nos aproximarmos da função pelo eixo x vamos ter

f x , 0 = x 4 > 0 = f 0,0

O que daria a ideia que esse ponto é de mínimo. Mas se nos aproximarmos ao longo do eixo y vamos ter

f 0 , y = - y 4 < 0 = f 0,0

O que nos diria q ele seria um ponto de máximo.

Por uma aproximação ele é de mínimo por outra de máximo então ele não é nenhum dos dois.

Quando um ponto crítico não é nem máximo nem mínimo ele é ponto de sela.

Resposta

Alternativa (a)

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