Exercícios Resolvidos de Transformada da Convolução

UNICAMP - Cálculo 3 - Exame 2013 - 2ª

Calcule a convolução de f t = 2 t e g t = s e n   t .

Passo 1

Para calcular essa convolução, usamos a definição:

0 t 2 t - τ sen τ d τ

Ué, não seria:

0 t 2 τ sen t - τ d τ

Tanto faz, jovem, escolhemos a que for mais conveniente. Vamos pegar a primeira mesmo.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

0 t 2 t - τ sen τ d τ = 0 t 2 t sen τ d τ - 0 t 2 τ sen τ d τ

Vamos trabalhar cada integral separadamente

Passo 3

Dá uma olhada que aqui estamos integrando em relação a τ , então t é uma constante e sai da integral assim como o 2:

0 t 2 t sen τ d τ = 2 t 0 t sen τ d τ = - 2 t cos τ 0 t = - 2 t cos t + 2 t  

Passo 4

Para a segunda integral, usamos a integração por partes com:

u = 2 τ v = - cos ( τ ) d u = 2 d τ d v = sen τ d τ

Assim:

0 t 2 τ sen τ d τ = u v 0 t - 0 t v d u = - 2 τ cos τ | 0 t + 2 0 t cos τ d τ =

- 2 τ cos τ + 2 s e n τ 0 t = - 2 t cos t + 2 s e n t

Juntando as integrais, chegamos ao resultado final. Fique atento ao sinal:

f t * g t = - 2 t cos t + 2 t + 2 t cos t - 2 sen t

f t * g t = 2 t - 2 s e n t

Resposta

f t * g t = 2 t - 2 s e n t

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