Exercícios Resolvidos de Transformada da Convolução

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Enunciado

Use a transformada de Laplace para resolver a equação funciona:

f t + ∫ 0 t t - τ f τ d τ = t

Passo 1

Calma galera é mais fácil que parece, primeiro vamos perceber que essa integral é a convolução, né? Então, sendo L f t = F s ,   t e m o s   q u e :

L ∫ 0 t t - τ f ⁡ τ d τ = L t ⋅ L f t = F s s 2

Assim, aplicando a transformada de Laplace na equação, temos:

L f t + ∫ 0 t t - τ f ⁡ τ d τ = L { t }

Então temos que:

F s + F s s 2 = 1 s 2 ⟹ F s s 2 + 1 = 1 ⟹ F s = 1 s 2 + 1

Opa esse resultado é conhecido por nós, isso aí é a transformada da função seno. Assim, aplicando a transformada inversa, temos:

f t = sen ⁡ t

Resposta

f t = sen ⁡ t

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Nos problemas 31-38, use o teorema 7.10 para encontrar a transformada de Laplace da função periódica dada. o n d at r i a n g u l a r