Exercícios Resolvidos de Transformada da Convolução

UFF, Equações Diferenciais, Listas GMA - Lista 5, Questão 3

Use a transformada de Laplace para resolver a equação funciona:

f t + 0 t t - τ f τ d τ = t

Passo 1

Calma galera é mais fácil que parece, primeiro vamos perceber que essa integral é a convolução, né? Então, sendo L f t = F s ,   t e m o s   q u e :

L 0 t t - τ f τ d τ = L t L f t = F s s 2

Assim, aplicando a transformada de Laplace na equação, temos:

L f t + 0 t t - τ f τ d τ = L { t }

Então temos que:

F s + F s s 2 = 1 s 2 F s s 2 + 1 = 1 F s = 1 s 2 + 1

Opa esse resultado é conhecido por nós, isso aí é a transformada da função seno. Assim, aplicando a transformada inversa, temos:

f t = sen t

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Resposta

f t = sen t

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