Exercícios Resolvidos de Transformada da Convolução

UFPE, Cálculo 4, 2º EE - 2017.1, Questão 3

Usando a convolução de funções, calcule f ( t ) = L - 1 F ( s ) , onde

F s = 1 s ³ ( s 2 + 1 )

Passo 1

Olhando para F(s) conseguimos reconhecer o seguinte produto :

F s = 1 s ³ . 1 ( s 2 + 1 )

Observa que na primeira temos a transformada de t ² 2 e na segunda de   s e n t .

Podemos escrever dessa forma então:

L f t s = L t 2 2 s . L s e n t ( s )

Agora sim, vamos escrever o tão famoso produto de convolução!

f t =   t 2 2 * s e n t

Para calcular esse produto usamos a definição

f t = g t * h t = 0 t g t - τ h τ d τ

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora é partir pro abraço e calcular a integral!

0 t t - τ ² 2 s e n τ d τ = 1 2 - t - τ 2 c o s τ 0 t + 2 0 t t - τ c o s τ d τ = 1 2 t 2 + 2 t - τ s e n τ 0 t - 2 0 t s e n τ d τ = t 2 2 + c o s t - 1

Logo, temos que:

f t = t 2 2 + c o s t - 1

Resposta

f t = t 2 2 + c o s t - 1

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